2.3.1 平面向量基本定理（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
知识自主预习
新知初探
知识点 1.平面向量基本定理
【思考】如果 e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与 e1，e2在同一平面内的任意向量 a能
否用 e1，e2表示？根据是什么？
【答案】可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
平面向量基本定理：如果 和 是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一
平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 ＝ .我们把不共线向
量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 ， ＋ 叫做向量
关于基底 的分解式.
知识点 2. 向量的夹角
【思考】两个非零向量夹角 θ的取值范围是什么？当非零向量 a与b共线时，它们的夹角
是多少？
【答案】两个非零向量夹角 θ的范围是 0°≤θ≤180°.当非零向量 a与b共线时，它们的夹角
是0°或180°.
两向量的夹角：已知两个 向量 a和b，如图所示，作向量 ＝a， ＝b，则
叫做向量 a与b的夹角.
范围
特殊
情况
θ＝0a与b
θ＝a与b ，记作
θ＝a与b
知识梳理
1. 不共线 ＋
2. 非零 ∠AOB [0，π] 同向 垂直 a⊥b 反向
自我测评
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底.(　　)
(2) 零向量不可作为基底中的向量．(　　)
(3) 0向量与任意一个向量平行． (　　)
(4) 0向量与任意一个向量垂直． (　　)
【答案】(1)×　(2) √　(3)√ (4)√
1
2．若 不共线，且 ，则(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由平面向量基本定理可知 ，故选 B.
【答案】B
3．若向量 a与b的夹角为 60°，则向量－a与－b的夹角是(　　)
A．60° B．120° C．30° D．150°
【解析】平移向量 a，b使它们有公共起点 O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与
－b的夹角也是 60°.
【答案】A
4．设向量 ， ， ，用 ， 表示 的结果是_______
_．
【解析】设 ，则
，所以 ．
【答案】 .
【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！
题型多维探究
题型 1 用基底表示向量
【 例 1】 梯 形 ABCD 中 ， AB∥CD ， M 、 N 分 别 是 的 中 点 ， ， 设
， ，选择基底 ，试写出下列向量在此基底下的分解式： ，
，.
【解】方 法 一 ： ∵ ， 且 ， ∴ ； 又
　
2
∴ ＝ ＝ ＝
1 2
( 1)e k e 
              
；
而 　 ∴ ＝ ＝
＝ ［
1 2
( 1)e k e 
 
］＋ － ＝ .
方法二：如图所示，过 C作CE∥DA 交AB 于E，同方法一得 ；则
＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝
1 2
( 1)e k e 
 
；
＝
＝ ＝ ＝ .
方法三：如图所示，连结 MB、MC，同以上方法可得 ；
＝
1 2
( 1)e k e 
 
；∵N 为线段 BC 的中点，
由线段中点的向量表达式知：
＝ ＝
∵M 是 AD 的中点，∴ 　
∴ ＝ ＝ ＝ .
【方法总结】用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：（1）是运用向量的线
性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；（2）是通过列向量方程或
方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
【变式训练 1】如图所示， OADB 是以向量 =，=为边的平行四边形.又BM=
BC，CN=CD，试用 、 表示 、 、 .
3
A B
CD
MNF
E
A B
CD
MN
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