2.2.3 直线的一般式方程及综合 教师版

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直线的一般式方程及综合
【典型例题】
类型一：直线的一般式方程
例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）斜率是 ，经过点 A（8，―2）；
（2）经过点 B（4，2），平行于 x轴；
（3）在 x轴和 y轴上的截距分别是 ，―3；
（4）经过两点 P1（3，―2），P2（5，―4）．
【解析】 （1）由点斜式方程得 ，化成一般式得 x+2y―4=0．
（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y―2=0．
（3）由截距式得 ，化成一般式得 2x―y―3=0．
（4）由两点式得 ，化成一般式方程为 ．
举一反三：
【变式 1】已知直线 经过点 ，且倾斜角是 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.
【解析】因为直线倾斜角是 ，所以直线的斜率 ，
所以直线的点斜式方程为： ，
1
化成一般式方程为： .
例2． 的一个顶点为 ， 、 的平分线在直线 和 上，求
直线 BC 的方程.
【答案】
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，
所以可得 A点关于 的平分线的对称点 在 BC 上，
B点关于 的平分线的对称点 也在 BC 上．写出直线 的方程，即为直线 BC 的方程.
例3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（1，2）的直线 的方程．
【解析】解法一：设直线 的斜率为 k，∵ 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ ．
又∵ 经过点（1，2），可得所求直线方程为 ，即 3x+4y―11=0．
解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 的方程为：3x+4y+m=0，
∵ 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得 m=―11．
∴所求直线方程为 3x+4y―11=0．
举一反三：
【变式 1】已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时:
（1） 与 平行（2） 与 垂直.
【解析】当 时， ：8y-10=0； ：x-4=0，
2
当 时， ： ； ：
由 ，得 ，由 得
而 无解
综上所述（1） ， 与 平行．（2） ， 与 垂直．
【变式 2】 求经过点 A（2，1），且与直线 2x+y―10=0 垂直的直线 的方程．
【解析】因为直线 与直线 2x+y―10=0 垂直，可设直线 的方程为 ，
把点 A（2，1）代入直线 的方程得： ，所以直线 的方程为：x－2y=0．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例4．已知直线 的倾斜角的正弦值为 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线 的方程．
【解析】设直线 的方程为 ，倾斜角为 ，由 ，得 ．
∴ ，解得 ．故所求的直线方程为 或 ．
举一反三：
【变式 1】已知直线 m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．
（1）求过两直线 m，n交点且与直线 l：x+2y―1=0 平行的直线方程；
（2）求过两直线 m，n交点且与两坐标轴围成面积为 4的直线方程．
3
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