2.2.2基本不等式（第二课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案
§2．2．2 基本不等式（第二课时）
导学目标：
掌握基本不等式≤(a，b≥0)及其凑配过程．
结合具体实例，能用基本不等式求最值问题及证明不等式问题．
（预习教材 P46~ P48，回答下列问题）
复习：基本不等式： ．
（1）基本不等式成立的条件： ．
（2）等号成立的条件，当且仅当 时取等号．
【知识点一】利用基本不等式求最值（最值使用）
已知 都是正数， 是常数．
（1） （当且仅当 时，“ ”成立）
（2） （当且仅当 时，“ ”成立）
自我检测 1：利用基本不等式求最值时应注意什么？
【知识点二】利用基本不等式证明有关不等式问题（放缩使用）
自我检测 2：你能证明下面两个常见的放缩不等式吗？
（1）（ ）．
（2）．
【知识点三】利用基本不等式解决实际中的问题
（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长 ，
解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
（2）经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及
等．
自我检测 3：求函数 的最值，并猜想该函数的图像的形状？
题型一 利用基本不等式求最值问题
【例 1】求下列代数式的最值
1
（1）已知 x>0，y>0，且 ，求 的最小值．
（2） 求函数 的最小值．
（3）求函数 的最小值．
（4）已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy=9，求 x＋3y的最小值．
（5）若正数 a，b满足 ，求 的最小值．
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例 2-1】 已知 a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c．
2
【例 2-2】已知 a，b，c是互不相等的正数，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．
题型三 利用基本不等式解决实际问题
【例 3】 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4 800 m3，深为 3 m．如果
池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使
总造价最低？最低总造价是多少？
1．已知 ,且 ，则 的最小值为 ．
2．若正实数 x，y满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是____ __．
3
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