2.2.1基本不等式（第一课时）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

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§2．2．1 基本不等式（第一课时）

导学目标：

掌握基本不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小

值问题．

（预习教材 P44~ P46，回答下列问题）

思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

1、正方形 ABCD 的

　　面积 S=＿＿＿＿＿

2、四个直角三角形的

　　面积和 S’ =＿＿

3、S与S’有什么样的不等关系？　　　

【知识点一】重要不等式

对于任意实数 a、b，都有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b

时，等号成立．

自我检测 1：你能给出不等式 a2＋b2≥2ab 的证明吗？

【知识点二】基本不等式

对于任意实数，都有≤，当且仅当 a ＝ b

时，等号成立．

其中和分别叫做正数 a，b的算术平均数和几何平均数．

自我检测 2：你能给出不等式（）的证明吗？

【知识点三】利用基本不等式求最值问题

已知 x>0，y>0，则

(1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________

(简记：积定和最小)．

(2) 如果和 x＋y是定值 p，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________

(简记：和定积最大)．

自我检测 3：利用基本不等式求最值时应注意什么呢？

题型一　对基本不等式的理解

【例 1】正确辨别不等式的使用条件

(1)下列不等式中，不正确的是(　　)

A．a2＋b2≥2|a||b| B．≥2a－b(b≠0)

C．2≥－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2

(2)给出下列命题：

①若x∈R，则 x＋≥2；

②若a<0，b<0，则 ab＋≥2；

③不等式＋≥2成立的条件是 x>0 且y>0．其中正确命题的序号是________．

题型二　利用基本不等式求最值

【例 2-1】已知，求的最小值和此时 x的取值．（或）

【例 2-2】求下列代数式的最值

（1）已知，求的最小值；

（2）若，求的最大值；

（3）已知，且满足，求的最小值；

（4）求的最小值；

（5）若且，求的最小值；

（6）若且，求的最小值．

题型三　恒成立问题与存在问题

【例 3】若对任意，恒成立，则 a的取值范围为________________．

1．已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab　　　　　　　　 B．a＋b≥2

C．＋> D．＋≥2

2．若 a>1，则 a＋的最小值是(　　)

A．2 B．a

C． D．3

3．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab

C．≥ D．x2＋≥2

4．若正数 x，y满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y的最小值是(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．5 D．6

5．已知 x，y都是正数．

(1)如果 xy＝15，则 x＋y的最小值是________．

(2)如果 x＋y＝15，则 xy 的最大值是________．

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