2.2.1~2.2.2 直线的点斜式与两点式教师版

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直线的点斜式与两点式方程

1.直线方程的五种表达方式：

5种形式方程局限性各常数的几何意义

点斜式不能表示与轴垂直的直线

是直线上一定点，

是斜率

斜截式不能表示与轴垂直的直线是斜率，是轴上的截距

两点式

不能表示与轴、轴垂直的直

线

、是直线上

两个不同定点

截距式

不能表示与轴垂直、轴垂

直、过原点的直线

是轴上的非零截距，

是轴上的非零截距

一般式表示所有的直线

当时，是斜率，

是轴上的截距

2.线段中点坐标公式：

若点，的坐标分别为，，且线段的中点 M的坐标为，则

3.直线系方程

1.平行直线系

以斜率为（常数）的直线系：（为参数）；

平行于直线是不全为 0的常数）的直线系： (C 为参数)

2.垂直直线系

垂直于直线是不全为 0的常数）的直线系： (C 为参数)

3.定点直线系

【典型例题】

类型一：点斜式直线方程

例1．已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为 30°，求直线的方程。

【解析】 ∵直线的斜率为，∴其倾斜角为，且过点（1，0）。

又直线与直线的夹角为 30°，且过点（1，0），直线的倾斜角为 30°或90°。

故直线的方程为 x=1 或。

举一反三：

【变式 1】（1）直线 y=x+1 绕着其上一点 P（3，4）逆时针旋转 90°后得直线，求直线的点斜式方

程；

（2）直线过点 P（2，－3），且与过点 M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程．

【解析】（1）直线 y=x+1 的斜率 k=1，所以倾斜角为 45°．

由题意知，直线的倾斜角为 135°，所以直线的斜率 k＇=tan135°=－1．

又点 P（3，4）在直线上，由点斜式方程知，直线的方程为 y－4=－(x－3)，即 x+y－7=0．

（2）直线 MN 的斜率，所以该直线平行于 x轴．

又直线垂直于直线 MN，因此直线的倾斜角为 90°，又直线过点 P（2，－3），

所以直线的方程为 x－2=0，即 x=2．

【变式 2】直线过点 P（－l，2），斜率为，把绕点 P按顺时针方向旋转 30°得直线，求直

线和的方程．

【解析】直线的方程是．

∵ ，∴ ．

如图，绕点 P按顺时针方向旋转 30° ，得到直线的倾斜角为， ∴

，∴ 的方程为．

类型二：斜截式直线方程

例2．（1）写出斜率为－1，在 y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；

（2）求过点 A（6，－4），斜率为的直线方程的斜截式；

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