2.2 基本不等式 学生版

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基本不等式
要点一：基本不等式
1.对公式 及 的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”.
2.由公式 和 可以引申出常用的常用结论
① （ 同号）；
② （ 异号）；
③ 或
要点诠释： 可以变形为： ， 可以变形为： .
要点二：基本不等式 的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形 中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为 、 ，那么正方形的边长为 .
这样，4个直角三角形的面积的和是 ，正方形 的面积为 .由于 4个直角三角形的面积
1
小于正方形的面积，所以： .当直角三角形变为等腰直角三角形，即 时，正方形
缩为一个点，这时有 .
得到结论：如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”）
特别的，如果 ， ,我们用 、 分别代替 、 ，可得：
如果 ， ,则 ，（当且仅当 时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果 ， ,，（当且仅当 时取等号“=”）
方法二：代数法
∵ ，
当 时， ；
当 时， .
所以 ，（当且仅当 时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果 ， ,我们用 、 分别代替 、 ，可得：
如果 ， ,则 ，（当且仅当 时取等号“=”）.
2
通常我们把上式写作：
如果 ， ,，（当且仅当 时取等号“=”）.
要点三：基本不等式 的几何意义
如图， 是圆的直径，点 是 上的一点， ,，过点 作 交圆于点 D，
连接 、 .
易证 ，那么 ，即 .
这个圆的半径为 ，它大于或等于 ，即 ，其中当且仅当点 与圆心重合，即
时，等号成立.
要点诠释：
1.在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述
为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本不等式可以
叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点四：用基本不等式 求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
3
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