2.1 直线的倾斜角与斜率 学生版

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直线的倾斜角与斜率
要点一、直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直
线重合时所转的最小正角记为 ，则 叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和 轴平行或重合时，直线倾斜角为 ，所以，倾斜角的范围是 ．
要点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；② 轴正向；③小于 的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角 的范围是 .当 时，直线与 x轴平行或与 x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线
的位置.
要点二、直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 表示，即 ．
要点诠释：
(1)当直线 与 x轴平行或重合时， =0°，k=tan0°=0；
(2)直线 与 x轴垂直时，
=90°，k不存在.
1
由此可知，一条直线 的倾斜角
一定存在，但是斜率 k不一定存在.
2．直线的倾斜角 与斜率 之间的关系
由斜率的定义可知，当 在 范围内时，直线的斜率大于零；当 在 范围内时，
直线的斜率小于零；当 时，直线的斜率为零；当 时，直线的斜率不存在．直线的斜率
与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在 和 范围内分别与倾斜角的变化方
向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在 或 范围内比较倾斜角
的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
要点三、斜率公式
已知点 、 ，且 与 轴不垂直，
过两点 、 的直线的斜率公式 .
要点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角
=90°，直线与 x轴垂直；
(2)k 与P1、P2顺序无关，即 y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率 k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y1=y2时，斜率 k=0，直线的倾斜角
=0°，直线与 x轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由 、 点的坐标求 的值；
2
(2)已知 及 中的三个量可求第四个量；
(3)已知 及 、 的横坐标(或纵坐标)可求 ；
(4)证明三点共线.
要点四、两直线平行的条件
设两条不重合的直线 的斜率分别为 .若 ，则 与 的倾斜角 与 相等.
由 ，可得
21 tantan
，即
21 kk
.因此，若 ，则 .反之，若 ，则
.
要点诠释：
1.公式 成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为 ；② 不重合；
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时， 的倾斜角都是 ，则 .
要点五、两直线垂直的条件
设两条直线 的斜率分别为 .若 ，则 .
要点诠释：
1.公式 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0时，两条直线也垂直.
【典型例题】
类型一：直线的倾斜角与斜率
例1．设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°，得到直线 ，则直
3
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