1.5全称量词与存在量词

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全称量词与存在量词

【要点梳理】

要点一、全称量词与全称命题

全称量词

全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.

常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“ ”表示，读作

“对任意”.

全称命题

全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.

一般形式：“对中任意一个，有成立”，

记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.

要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，

例如：（1）“末位是 0的整数，可以被 5整除”；

（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；

（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.

要点二、存在量词与特称命题

存在量词

定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.

常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作

“存在”.

特称命题

特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.

一般形式：“存在中一个元素，有成立”，

记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.

要点诠释：

（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使 .

（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.

（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述

要点三、含有量词的命题的否定

对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题：，

的否定：，；

从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个 x，有 p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论

部分 p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意 ”的否定为“

，”.

对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题：，

的否定：，；

从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否

定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，

”.

要点诠释：

(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；

(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.

(3) 正面词：等于“、大于““、小于、“““是、“““都是、““至少一个““、至多一个

否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、“一个也没有、“至少两个

要点四、全称命题和特称命题的真假判断

①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合 M中的每一个元素 x，证明成立；

要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合 M中找到一个元素 x0，使得不成立，

即举一反例即可.

②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合 M中找到一个元素 x0，使得成

立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合 M中，使成立得元素

不存在.

【典型例题】

类型一：量词与全称命题、特称命题

例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题：

（1）任何一个实数除以 1仍等于这个数；

（2）等边三角形的三边相等；

（3）存在实数，使。

【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题

【变式 1】判断下列命题是全称命题还是特称命题.

（1）xR，x2+1≥1；

（2）所有素数都是奇数；

（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（4）有些整数只有两个正因数.

【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；

（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

类型二：判断全称命题、特称命题的真假

例2.判断下列命题的真假：

（1）；

（2）.

【解析】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；

（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.

举一反三：

【变式 1】试判断下列命题的真假

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