1.4.2充要条件 学案（教师版）-2021-2022学年高一数学人教A版（2019）第一册

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§1.4.2 充要条件
【学习目标】
1．从集合角度理解充分条件与必要条件；2．理解充要条件的概念；3．能判定充要关系并证明．
【学习过程】
活动一：从集合角度理解充分条件与必要条件
p ⇒ q，p是q的充分条件，相当于 P⊆Q；q ⇒ p，p是q的必要条件，相当于 Q ⊆ P．
在P中的元素就一定在 Q中，在 Q中的元素不一定在 P中．
小的可以推出大的，p⇒q；大的不能推出小的，q⇏ p．
1．判断下列哪个 p是q的充分条件，哪个 p是q的必要条件?
(1) p：x<0，q：x2>0，p是q的 充分 条件； (2) p：x＝y，q：|x|＝|y|，p是q的 充分 条件；
(3) p：x<2，q：x<0，p是q的 必要 条件； (4) p：菱形，q：正方形，p是q的 必要 条件．
2．填空：(1) xy＝0的一个充分条件是 x ＝ 0 ；x<2 的一个必要条件是 x <5 ．
(2)已知 x<3 是x<a的一个必要条件，则实数 a的取值范围是 { x | x ≤3} ．
(3)已知 x＋a<0 是x－2<0 的一个充分条件，则实数 a的取值范围是 { x | x ≥ － 2} ．
活动二：逆命题
将命题“若 p，则 q”中的 条件
p 和 结论
q
互换，就得到一个新的命题“ 若
q ，则
p ”，称这
个命题为原命题的 逆命题 ．
1．下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题与他们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等； 原命题 真 ，逆命题 真
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 原命题 真 ，逆命题 假
(3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则 ac<0； 原命题 假 ，逆命题 真
(4)若A∪B是空集，则Ａ与Ｂ均是空集． 原命题 真 ，逆命题 真
活动三： 充要条件
如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是 真命题 ，即既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，
就记作： p ⇔ q ，读作： p
等价于
q ，此时 p既是 q的充分条件，也是 q的必要条件，我们就说 p
是q的充分必要条件，简称为 充要条件 ．显然，如果 p是q的充要条件，那么 q也是 p的充要条件．
1．下列各题中，哪些 p是q的充要条件?
(1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； q ⇏ p ，p 不是 q的充要条件
(2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； p ⇔ q ，p 是 q 的充要条件
(3) p：xy>0，q：x>0，y>0； p ⇏ q ，p 不是 q的充要条件
(4) p：x＝1是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)； p ⇔ q ，p是
q的充要
条件
2．下列各题中，哪些 p是q的充要条件?
(1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； p ⇔ q ，p 是 q 的充要条件
(2) p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； p ⇔ q ，p 是
q的充要条件
(3) p：A∩B 为空集，q：A与B之一为空集． p ⇏ q ，p不是
q的充要条件
1
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