1.4 空间向量的应用 学生版

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空间向量的应用
【要点梳理】
要点一、直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
若A、B是直线 上的任意两点，则
AB

为直线
l
的一个方向向量；与
AB
平行的任意非零向量也是
直线
l
的方向向量。
要点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线
的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向
量的坐标运算。
2. 平面的法向量定义：
已知平面
，直线
l
，取
l
的方向向量
a
，有
a
，则称为
a
为平面
的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面
内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为 n=（x，y，z）；
1
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；
（iii）根据法向量的定义建立关于 x、y、z的方程
0
0
n a
n b
 
 
；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程
组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
要点二、用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。
（1）线线平行
设直线
，
2
l
的方向向量分别是
a
，
b
，则要证明
1 2
//l l
，只需证明
//a b
，即
( )k k Ra b
。
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线
l
的方向向量是
a
，平面
的法向量是
u
，则要证明
//l
，只需证明
a u
，即
0 a u
。
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直
线的方向向量是共线向量。
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用
平面内两个不共线向量线性表示即可。
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。
②若能求出平面
，
的法向量
u
，
v
，则要证明
//
 
，只需证明
//u v
。
要点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。
（1）线线垂直
2
设直线
，
2
l
的方向向量分别为
a
，
b
，则要证明
1 2
l l
，只需证明
a b
，即
0 a b
。
（2）线面垂直
①设直线
l
的方向向量是
a
，平面
的法向量是
u
，则要证明
l
，只需证明
//a u
。
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。
②证明两个平面的法向量互相垂直。
要点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知 a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是 a，b上的任意两点，a，b所成的角为
，
则
| |
cos | | | |
AC BD
AC BD
              
 
（2）求直线和平面所成的角
设直线
l
的方向向量为
a
，平面
的法向量为
u
，直线与平面所成的角为
，
a
与
u
的角为
，
则有
| |
sin | cos | | | | |
 
a u
a u
。
（3）求二面角
如图，若
PA
于A，
PB
于B，平面 PAB 交
l
于E，
则∠AEB 为二面角
l
 
 
的平面角，∠AEB+ APB=180°∠。
3
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