1.4 充分条件与必要条件 教师版

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充分条件与必要条件
【要点梳理】
要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念
符号 与 的含义
“若 ，则 ”为真命题，记作： ；
“若 ，则 ”为假命题，记作： .
充分条件、必要条件与充要条件
①若 ，称 是 的充分条件， 是 的必要条件.
②若既有 ，又有 ，就记作 ，这时 是 的充分必要条件，称 是 的充要条
件.
要点诠释：对 的理解：指当 成立时， 一定成立，即由 通过推理可以得到 .
“① 若 ，则 ”为真命题；
② 是 的充分条件；
③ 是 的必要条件
以上三种形式均为“ ”这一逻辑关系的表达.
要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若 ，则 ”，其条件 p与结论 q之间的逻辑关系
①若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件；
②若 ，但 ，则 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件；
③若 ，且 ，即 ，则 、 互为充要条件；
1
④若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p：x A∈，q：x B∈，
①若 A B，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；
②若 A是B的 真子集，则 是 的充分不必要条件；
③若 A=B，则 、 互为充要条件；
④若 A不是 B的子集且 B不是 A的子集，则 是 的既不充分也不必要条件.
要点三、充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件
的必要性（即证原命题的逆命题成立）
要点诠释：对于命题“若 ，则 ”
①如果 是 的充分条件，则原命题“若 ，则 ”与其逆否命题“若，则”为真命题；
②如果 是 的必要条件，则其逆命题“若 ，则 ”与其否命题“若，则”为真命题；
③如果 是 的充要条件，则四种命题均为真命题.
【典型例题】
类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件．
【解析】 ，故 ，但 ，
“∴x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．
举一反三：
2
【变式 1】指出下列各题中， 是 的什么条件？
(1) : ， : ；
(2) : ，: 抛物线 过原点
(3) : 一个四边形是矩形， : 四边形的邻边相等
【答案】(1)∵: 或, : ∴且,∴是 的必要不充分条件；
(2)∵且,∴是 的充要条件；
(3)∵且 ，∴ 是 的既不充分条件也不必要条件.
【变式 2】判断下列各题中 是 的什么条件.
（1）:且, : （2）: , : .
【答案】（1） 是 的充分不必要条件.
∵ 且 时， 成立；反之，当 时，只要求 、 同号即可.∴必要性不成立.
（2） 是 的既不充分也不必要条件
∵ 在 的条件下才有 成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立.
【变式 3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，
那么丙是甲的（ ）.
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】A；【解析】由已知有甲 乙，丙 乙且乙 丙.
于是有丙 乙 甲，且甲 丙（否则若甲 丙，而乙 甲 丙，与乙 丙矛盾）
3
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