1.3.1 空间直角坐标系 教师版人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义

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空间直角坐标系
要点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点 O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系
Oxyz，点 O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，
分别是 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
要点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点 ，则有
点 关于原点的对称点是 ；
点 关于横轴(x 轴)的对称点是 ；
点 关于纵轴(y 轴)的对称点是 ；
点 关于竖轴(z 轴)的对称点是 ；
点 关于坐标平面 的对称点是 ；
点 关于坐标平面 的对称点是 ；
点 关于坐标平面 的对称点是 .
要点三、空间两点间距离公式
1
1.空间两点间距离公式
空间中有两点 ，则此两点间的距离
.
特别地，点 与原点间的距离公式为 .
2.空间线段中点坐标
空间中有两点 ，则线段 AB 的中点 C的坐标为 .
【典型例题】
类型一：空间坐标系
例1．画一个正方体 ABCD—A1B1C1D1，以 A为坐标原点，以棱 AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取
正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。
（1）求各顶点的坐标；
（2）求棱 C1C中点的坐标；
（3）求平面 AA1B1B对角线交点的坐标。
【解析】如图所示，由棱长为 1，可得
（1）各顶点坐标分别是 A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、
D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；
（2）棱 CC1中点为 ；
2
（3）平面 AA1B1B对角线交点为 。
举一反三：
【变式 1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，
求这个单位正方体各顶点和点 N的坐标．
【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1， ）。
例2．（1）在空间直角坐标系中，点 P（－2，1，4）关于 x轴对称的点的坐标是（ ）．
A．（－2，1，－4） B．（－2，－1，－4）
C．（2，－1，4） D．（2，1，－4）
（2）在空间直角坐标系中，点 P（－2，1，4）关于 xOy 平面对称的点的坐标是（ ）．
A．（－2，1，－4） B．（－2，－l，－4）
C．（2，－1，4） D．（2，1，－4）
【答案】（1）B （2）A
举一反三：
【变式 1】如图，长方体 中，|OA|=4，|OC|=6， ， 与 相交于点 P，
则点 P的坐标是（ ）
A．（6，2，1） B．（1，2，6）
3
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