1.2空间向量基本定理、1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学生版

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空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示
【要点梳理】
要点一、空间向量的基本定理
1. 空间向量的基本定理：
如果三个 向 量 a、b、c不 共 面，那么 对 空 间任一向 量 p， 存在唯一 的 有 序实数组 x、y、z， 使
p=xa+yb+zc
2．基底、基向量概念：
由空间向量的基本定理知，若三个向量 a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|
p=xa+yb+zc，x、y、z R}∈，这个集合可看做是由向量 a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间
的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
要点二、空间向量的坐标表示
（1）单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，常用
{ , , }i j k
 
表示
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点
O
和一个单位正交基底
{ , , }i j k
 
，以点
O
为原点，分别以
, ,i j k
 
的方向为正方向建
立三条数轴：
x
轴、
y
轴、
z
轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
O xyz
，点
O
叫原点，向量
, ,i j k
 
都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为
平面，
平面，
zOx
平面；
（3）空间直角坐标系中的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量 a，其坐标向量为 i，j，k， 若 a=a1i+a2j+a3k，则有序数组
1
（a1，a2，a3）叫做向量 a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作 a=（a1，a2，a3）．
在空间直角坐标系 Oxyz 中，对于空间任一点 A，对应一个向量
OA

，若
OA xi yj zk  

，则有序
数组（x，y，z）叫点 A在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A（x，y，z），其中 x叫做点 A的横坐
标，y叫点 A的纵坐标，z叫点 A的竖坐标．
要点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若
1 1 1
( , , )A x y z
，
2 2 2
( , , )B x y z
，则
①
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1
( , , ) ( , , ) ( , , )AB OB OA x y z x y z x x y y z z  
                           
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②
22 2 2
2 1 2 1 2 1
| | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z  
              
，
或
2 2 2
, 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )
A B
d x x y y z z  
奎屯
王新敞
新疆
（2）向量加减法、数乘的坐标运算
若
1 1 1
( , , )a x y z
，
2 2 2
( , , )b x y z
，则：①
1 2 1 2 1 2
( , , )a b x x y y z z 
 
；
②
1 2 1 2 1 2
( , , )a b x x y y z z 
 
； ③
1 1 1
( , , )( )a x y z R
 
 
；
（3）向量数量积的坐标运算
若
1 1 1
( , , )a x y z
，
2 2 2
( , , )b x y z
，则：
1 2 1 2 1 2
a b x x y y z z 
 
；
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若
1 2 3
( , , )a a a a
，
1 2 3
( , , )b b b b
，则
2
①
2 2 2
1 2 3
| |a a a a a a  
 
，
2 2 2
1 2 3
| |b b b b b b  
 
．
②
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ( 0, 0)
| | | |
a b a b a b
a b
a b a b
a b a a a b b b
 
  
  
 
 
 
．
要点诠释：
（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
a b
a b | a ||b | cos a b cos a b | a | | b |
     
 
   
 
，其中 θ的范围是
[0, ]
(2)
, , , , .AC BD AC DB CA BD CA DB
   
      
                                                                                                  
(3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与 θ的关系（相等，互余，互补）。
（5）空间向量平行和垂直的条件
若
1 1 1
( , , )a x y z
，
2 2 2
( , , )b x y z
，则
①
1 2
/ /a b a b x x
 
 
 
，
1 2
y y
，
1 2
( )z z R
 
 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
 
2 2 2
( 0)x y z
②
1 2 1 2 1 2
0 0a b a b x x y y z z  
 
规定：
0
与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【典型例题】
类型一、空间向量的坐标表示
例1. 如下图，已知在正四棱锥 P-ABCD 中，O为底面中心，底面边长和高都是 2，E、F分别是侧棱
3
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