1.2-1.3 集合的基本关系及运算

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集合的基本关系及运算

【要点梳理】

要点一、集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合 A是集合 B的部分元素构成的集合，我们说集合 B包含集合 A；

子集：如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A

是集合 B的子集(subset).记作：，当集合 A不包含于集合 B时，记作 A B，用 Venn

图表示两个集合间的“包含”关系：

要点诠释：

真子集：若集合，存在元素 x B 且，则称集合 A是集合 B的真子集(proper subset).

记作：A B(或B A)

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

，则 A与B中的元素是一样的，因此 A=B

要点诠释：

任何一个集合是它本身的子集，记作．

要点二、集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素所组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作：

A B∪读作：“A 并B”，即：A B={x|x∪A，或 x B}

Venn 图表示：

2.交集

一般地，由属于集合 A且属于集合 B的元素所组成的集合，叫做集合 A与B的交集；记作：

A∩B，读作：“A 交B”，即 A∩B={x|x A，且 x B}；交集的 Venn 图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A与B没有公共元素时，不能说 A与B没有交集，

而是．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B 中的任意元素都是 A与B的公共元素”，同时“A 与

B的公共元素都属于 A∩B”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A与B的所有公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，

通常记作 U.

补集：对于全集 U的一个子集 A，由全集 U中所有不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合

A相对于全集 U的补集(complementary set)，简称为集合 A的补集，

记作：补集的 Venn 图表示：

4.集合基本运算的一些结论

若A∩B=A，则，反之也成立

若A B=B∪，则，反之也成立

若x (A∩B)，则 x A 且x B

若x (A B)∪，则 x A，或 x B

【典型例题】

类型一、集合间的关系

例1. 若集合，则（ C ）.

A. B. C. = D.

例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.

【解析】不含任何元素子集为，只含 1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有 2个元素的子集有

{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有 3个元素的子集为{a，b，c}，即含有 3个元素的集合共 23=8 个子集.

举一反三：

【变式 1】已知，则这样的集合有个.

【答案】7个

【变式 2】已知集合 A={1 ，2，3} ，平面内以（x，y）为坐标的点集合 B={ （x，y）｜

x∈A，y∈A，x+y∈A}，则 B的子集个数为（）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D【解析】 ∵ 集合 A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合 B={（x，y）｜

x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8 个．

例3．集合 A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？

【答案】以上四个集合都不相同

【解析】集合 A={x|y=x2+1}的代表元素为 x，函数的定义域 A= ；

集合 B={y|y=x2+1}的代表元素为 y，故值域 B= ；

集合 C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合 C表示的是 y=x2+1 上的所有点组成的集合；

集合 D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程 y=x2+1．

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