【新教材】6.3.1 平面向量基本定理学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

3.0 envi 2025-04-15 20 4 515.05KB 7 页 3知币

侵权投诉

6.3.1　平面向量基本定理

【新知初探】

要点一　平面向量基本定理

(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a，

实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：把的向量 e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底．

思考如图所示，e1,e2是两个不共线的向量，试用 e1,e2表示向量

AB，CD，EF，GH，HG，a.

要点二　两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个 a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，

则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a与b的夹角．

①范围：向量 a与b的夹角的范围是[0°，180°]．

②当 θ＝0°时，a与b ．

③当 θ＝180°时，a与b ．

(2)垂直：如果 a与b的夹角是 90°，则称 a与b垂直，记作 a⊥b.

思考　在等边三角形 ABC 中，试写出下面向量的夹角．

①AB、AC；②AB、CA；③BA、CA；④AB、BA.

【题型通关】

题型一　对向量的基底认识

例1　如果 e1，e2是平面 α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．

①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α内的所有向量；

②对于平面 α内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量 λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若存在实数 λ，μ使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.

跟踪训练 1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：① e1与e1＋e2；② e1－2e2与e2－

2e1；③ e1－2e2与4e2－2e1；④ e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是____

__．(写出所有满足条件的序号)

题型二　用基底表示向量

例2　如图所示，已知▱ABCD 中，E、F分别是 BC、DC 边上的中点，若AB＝

a，AD＝b，试以 a、b为基底表示DE、BF.

跟踪训练 2　如图，已知△ABC 中，D为BC 的中点，E，F为BC 的三等分点，若

AB＝a，AC＝b，用 a、b表示AD、AE、AF.

题型三　向量夹角问题

例3　已知|a|＝|b|＝2，且 a与b的夹角为 60°，设 a＋b与a的夹角为 α，a－b与a的夹角是 β，求 α

＋β.

跟踪训练 3　若 a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求 a与a＋b的夹角．

题型四　平面向量基本定理的应用

例4　如图所示，在△OAB 中，OA＝a，OB＝b，点 M是AB 上靠近 B的一个

三等分点，点 N是OA 上靠近 A的一个四等分点．若 OM 与BN 相交于点 P，

求OP.

跟踪训练 4　如图所示，在△ABC 中，点 M是AB 的中点，且AN＝NC，BN

与CM 相交于 E，设AB＝a，AC＝b，试用基底 a，b表示向量AE.

例5　已知OA＝2a，OB＝2b，OC＝－a＋3b，求向量BA与BC的夹角．

【课堂达标】

1．设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)

A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2

2．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用 a，b表示AD，则AD等于(　　)

A．a＋b B.a＋b

C.a＋b D.a＋b

3．在直角三角形 ABC 中，∠BAC＝30°，则AC与BA的夹角等于(　　)

A．30° B．60°

C．120° D．150°

4．设向量 m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用 m，n表示 p，p＝________.

5．如图所示，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E、F分别是 DC、AB 的中点，设AD

＝a，AB＝b，试用 a、b为基底表示DC、BC、EF.

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

【新教材】6.3.1 平面向量基本定理学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册.doc

共7页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

【新教材】6.3.1 平面向量基本定理学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择:

【新教材】6.3.1 平面向量基本定理 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择:

【新教材】6.3.1 平面向量基本定理学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册