【考前预测篇5】零点问题-2021年高考数学考前十天终极预测

3.0 envi 2025-04-15 25 4 575.13KB 6 页 3知币

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【考前预测篇 5】零点问题

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等

及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

1.函数零点的定义

对于函数 y＝f(x) (x∈D)，把使 f(x)＝0成立的实数 x叫做函数 y＝f(x) (x∈D)的零点．

2.零点存在性定理(函数零点的判定)

若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)＜0，则在区间

(a，b)内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程 f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

也可以说：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么，函数 y＝f(x)在

区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是方程 f(x)＝0的根．

【提醒】此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

3.几个等价关系

函数 y＝f(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝0有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝0(即x轴)有交点．

推广：函数 y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)－g(x)＝0有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)－g(x)的图象与 y＝0(即x轴)有交点．

推广的变形：函数 y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝g(x)有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．

题型一：判断零点所在区间

1. 函数零点所在大致区间是( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

【解析】因为函数

3log)( 3 xxf x

的定义域为：

0x>

，函数是连续函数

()()

3 3 3

2 log 2 2 3 log 0, 3 log 3 3 3 1 0

f f= + - = < = + - = >

根据函数的零点判定定理，故选 C．

2.设函数

( ) 4sin(2 1)f x x x  

，则在下列区间中函数

( )f x

不存在零点的是（）

A．

 

4, 2 

B．

 

2,0

C．

 

0, 2

D．

 

2, 4

【解析】由函数零点的定义，知

( )

0f x >

不存在零点，，即方程

( )

4sin 2 1 0x x+ - =

在这个区间上无解

()()()

4sin 2 1 ,y g x x y h x x= = + = =

，则这两个函数图像在这个区间上无交点。

做出

()()()

4sin 2 1 ,y g x x y h x x= = + = =

的图像，观察图像知选 A．

题型二：求零点个数

1．函数

( ) cos(3 )

f x x



 

在

[0, ]



的零点个数为_____．

【解析】由题意知，

cos(3 ) 0



 

，所以

36 2

x k

  

  

，

kZ

，

所以

9 3

 

 

，

kZ

，当

0k

时，





；当

1k

时，





；

当

2k

时，





，均满足题意，所以函数

( )f x

在

[0, ]



的零点个数为 3．

2．关于函数

( ) sin | | | sin |f x x x 

在

[ , ] 

有_______个零点.

【解析】

 

( ) sin sin sin sin ( )f x x x x x f x       

，则函数

( )f x

是偶函数，

 

0 , ( ) sin sin 2sinx f x x x x



      当

，

由

 

0f x 

得

2sin 0x

,得

0x

或





，

由

( )f x

是偶函数，得在









上还有一个零点



 

，即函数

( )f x

在

 

 



上有 3个零点.

3．函数



的图像与函数

2sin ( 2 4)y x x



   

的图像所有交点的横坐标之和等于________.

【解析】图像法求解．



的对称中心是

(1,0)

也是

2sin ( 2 4)y x x



   

的中心，

2 4x  

他们的图像

1x

的左侧有 4个交点，则

1x

右侧必有 4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为

1, 2 3 4 5 6 7 8

, , , , , ,x x x x x x x x

，

则

1 8 2 7 3 6 4 5

2x x x x x x x x       

，所以选 D

     

-3 +2=0f x f x f x



  











2

cos 1 x 1

x 1 x 1

4. 已知函数的实根的个数是___.

，

则关于x的方程

＞，

【解析】

       

-3 +2=0 =1 =2f x f x f x f x方等价于程或

   

 

 

1,1 , >1 1 0

f x f x x f

cos 1 x 1

21 x 1

x 1 x 1

函，

当，时,

＞，

数



  

  

 











 

=1 cos 1 1 1, 0 2

f x x x x x时，或所以或



     

 

=2 1 2, 3f x x x时，所以   

   

-3 +2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程

题型三：根据零点个数求参数

1.已知函数

 











0,ln

，

   

axxfxg 

．若

 

存在 2个零点， a

的取值范围是（）

A．[–1，0） B．[0，+∞）

–1

–2

–1

–2

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