链接10-2020年中考数学人教版专题复习教案：锐角三角函数的应用

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2020 年中考数学人教版专题复习：锐角三角函数的应用

一、教学内容[来源:学科网]

锐角三角函数的应用

1. 利用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.

2. 了解方向角，仰角、俯角，坡度，水平距离、垂直距离等概念，并能在具体问题中

正确运用.

二、知识要点

1. 方向角

如图所示，过观测点作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从观

测点出发的视线与铅垂线或与水平线的夹角叫做方向角. 若∠1＝30°，则称方向角为北偏

东30°，若∠2＝60°，则称方向角为北偏西 60°，若∠3＝45°，则称东南方向.

2. 仰角和俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫

做俯角，如图所示.

3. 坡角、坡度

（1）坡角：坡面与水平面的夹角.

（2）坡度：地面的铅直高度 h与水平宽度 l的比叫做坡度（或坡比），用字母 i表示.

如图所示，i＝. 坡度一般写成 1∶m的形式（比例的前项为 1，后项可以是小数）.

（3）坡度与坡角的关系

若坡角为 α，坡度为 i，则有 i＝＝tanα. 坡度越大，则 α角越大，坡面越陡.

三、重点难点

重点是能够把实际问题转化为数学问题，能够进行有关三角函数的计算 . 难点是能够

将实际问题转化为解直角三角形的问题，正确选用直角三角形的边角关系. [来源:学#科#网Z#X#X#K]

四、考点分析

三角函数广泛应用于解各种多边形，如等腰三角形、平行四边形、梯形和正多边形，

是初中几何的重要组成部分，其主要命题热点如下：

（1）会计算特殊角的三角函数以及与三角函数有关的代数式的值的问题.

（2）能正确运用 sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并借助直角三角形边

角之间的关系解证三角问题.

（3）会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，及锐角三角函数解直角三角形，

并会用解直角三角形中的有关知识来解决某些简单的实际问题.

【典型例题】

例1. 如图所示，河对岸有铁塔 AB，在 C处测得塔顶 A的仰角为 30°，向塔前进 14 米

到达 D处，在 D处测得 A的仰角为 45°，求铁塔 AB 的高.

分析：本题主要考查利用解直角三角形的知识去解决实际问题. 设AB＝x，则可用 x的代数

式表示 BC 和BD，再利用 BC＝CD＋DB 列关于 x的方程，可解出 x.

解：在RtACB△中，∠C＝30°，tanC＝，

∴BC＝.

在RtADB△中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD.

∵BC－BD＝CD＝14，设 AB＝x，

则－x＝14，即－x＝14，

解得 x＝7（＋1）.

∴AB＝7（＋1）米，即铁塔 AB 的高为 7（＋1）米.

评析：本题是一类典型问题，因为 BC＝、BD＝，所以－＝CD.

例2. 某水库大坝某段的横截面是等腰梯形，坝顶宽 6m，坝底宽 126m，斜坡上的坡比

为1∶，试求此处大坝的坡角和高.

分析：构造直角三角形，过 D、C作DE AB⊥，CF AB⊥，在 RtADE△中，利用坡比即＝可求

DE. [来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

解：如图所示，由题意可知 CD＝6，AB＝126 且AD＝BC，AE＝BF 且EF＝CD＝6.

故可得AE＝BF＝＝60.

∵i＝，∴＝，

∴DE＝AE＝×60＝20.

∵tanA＝i＝＝，∴∠A＝30°.

答：坡角是 30°，坝高为 20m.

例3. 如图，从热气球 C上测得两建筑物 A、B底部的俯角分别为 30°和60°. 如果这时

气球的高度 CD 为90 米. 且点 A、D、B在同一直线上，求建筑物 A、B间的距离.

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