第13讲 几何压轴题-广东省深圳市2021年中考数学（北师大版）考点题型专项复习训练

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《深圳中考专项复习》第 13 讲之几何填空压轴题
【考点介绍】
在深圳中考卷中第 15 或 16 题位置，每年都会出现一道纯几何填空题，难度中等或偏上，对初中几何性质、定理、
数学典型模型的综合（特别是相似综合）考查.
【最近五年中考实题详解】
1.
(2020 ∙深圳)
如图， 已知四边形 ABCD，AC 与 BD 相交 于点 O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=
1
2
,
BO
OD =4
3
,则
S∆ ABD
S∆ CBD
=¿¿
E
C
o
B
【解析】由已知条件的线段比联想到相似，故过 B 点作 BE//AD 交 AC 于点 E，构造相似典型图形“8 字模型”，可
得
OE
OA =BO
OD =4
3
,而相似中的面积问题，一般有两条解题思路线：①若两三角形相似，则面积比等于相似比的平
方；②若两三角形不相似，则必出现等底（或等高），则面积之比会等于高（或底）之比。此题是属于第②种情
况，
S∆ OAD
S∆ OCD
=S∆ OAB
S∆ OCB
=OA
OC
，则由比例的等比性质可得
S∆ ABD
S∆ CBD
=OA
OC
，故只需要求出
OA
OC
的值即可。在 Rt△ABC 中
出现一个数学典型模型“双垂模型”，则∠ACB=∠ABE，则 tan∠ACB=tan∠ABE=
1
2
，即
BE
CE=AE
BE =1
2
，由
OE
OA =4
3
1
可设 OE=4a,则 OA=3a,AE=7a，BE=14a，EC=28a，OC=OE+EC=32a,则
S∆ ABD
S∆ CBD
=OA
OC =3a
32 a=3
32
.
2.
(2019 ∙深圳)
如图，在正方形 ABCD 中，BE=1，将 BC 沿 CE 翻折，使 B 点对应点刚好落在对角线 AC 上，将 AD 沿
AF 翻折，使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上，求 EF=____________
F
E
D
C
B
A
G
M
F
E
D
C
B
A
【解析】：中等难度题，折叠问题，考查正方形性质及勾股定理。
作 FM⊥AB 于点 M，设 B 的对应点为 G，由折叠问题易得：
△BCE≌△DAF（ASA），∴BE=DF=1，∴BE=EG=1，∠BAC=45°，∴△EGA 是等腰直角三角形，AE=
√
2
，∴AB=AD=MF=
√
2+1
，∴ME=AE-AM=
√
2−1
，在直角三角形 MFE 中，由勾股定理可得 EF=
√
6
.
3.
(2018 ∙深圳)
在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠CAB，AD、BE 交于点 F，且 AF=4,EF=
√
2
,则 AC=_____.
【解析】：填空压轴题，高难度题型。考查几何综合证明与计算。
由多条角平分线，联想到“两角平分线与角度关系”的典型模型---“两内角角平分线：
∠AFB=90°+1
2
∠C
”，
便可得出∠AFB=135°，进而得出∠AFE=45°，（这个结论的得出，是解决此题的“突破口”和思路的关键点），
则∠AFE=45°联想到一条解题经验：“出现 45°往往构造等腰直角三角形”，所以作 EM⊥AD 于点 M，则△EFM 是
等腰直角三角形，由 EF=
√
2
，便可算出 MF=EM=1，则 AM=3，由勾股定理得出 AE=
√
10
，连接 CF，由“三角形三条角
平分线会交于一点”可知 CF 是∠ACB 的角平分线，则∠ACF=45°，由相似典型图形的“共角”模型，易证△AEF
∽△AFC，得
AE
AF =AF
AC
，即
√
10
4=4
AC
，则
AC=8
5
√
10
2
4.
(2017 ∙深圳)
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点 P 在 AC 上，PM 交 AB
于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE=2PF 时，AP=　　．
【解析】旋转典型模型“尺子模型”，常见解题方法：把尺子摆正，按这添辅助线。如图作 PQ⊥AB 于 Q，PR⊥BC
于 R．由△QPE∽△RPF，推出
PQ
PR =PE
PF
=2，可得 PQ=2PR=2BQ，由 PQ∥BC，可得 AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：
5，设 PQ=4x，则 AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得 2x+3x=3，可得 x=
3
5
,∴AP=5x=3．
【针对练习巩固】
1．如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面
积 9．若 AA′＝1，则 A′D 等于______
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90º，CD⊥AB 于点 D，AF 平分∠CAB，交 CB 于点 F，交 CD 于点 E，若 AC=6，sinB=
3
5
,则 DE 的长为_______.
3
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