《中考数学二轮专题复习之函数与实际问题真题满分过（全国通用）》专题18 二次函数中的销售问题（1）（解析版）

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专题 18 二次函数中的销售问题（1）
【真题讲解】
例．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知某厂以 小时/千克的速度匀速生产某种产
品（生产条件要求 ），且每小时可获得利润 元．
（1）某人将每小时获得的利润设为 y元，发现 时， ，所以得出结论：每小时
获得的利润，最少是 180 元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分
析说明；
（2）若以生产该产品 2小时获得利润 1800 元的速度进行生产，则 1天（按 8小时计算）
可生产该产品多少千克；
（3）要使生产 680 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此
最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24 千克；（3）该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大
利润为 207400 元.
【分析】
（1）将 y= 看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函
数的增减性说明即可；
（2）由以生产该产品 2小时获得利润 1800 元的速度进行生产可得
×2=1800，解出 t值即可；
（3）根据题意表示出生产 680 千克该产品获得的利润为 y=680t· ，再求出
y的最大值以及此时 t值即可.
【详解】
解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
1
令y= ，当 t=1 时，y=180，
∵当 ， 随 t的增大而减小，-3t 也随 t的增大而减小，
∴-3t+ 的值随 t的增大而减小，
∴y= 随t的增大而减小，
当t=1 时，y取最小，
∴他的结论正确；
（2）由题意可得： ×2=1800，
整理得： ，
解得：t= 或-5（舍），
即以 小时/千克的速度匀速生产产品，
则1天（按 8小时计算）可生产该产品 8÷ =24 千克；
（3）生产 680 千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y= ，
当t= 时，y最大，且为 207400 元.
2
故该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大利润为 207400 元.
【点睛】
本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的
最值，理解题意，确定函数模型是解题的关键.
【真题演练】
一、解答题
1．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进
价为每本 10 元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量 （本）与销售单价 （元）之
间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价 （元） 12 14 16
每周的销售量
（本）
500 400 300
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 元（ ，且 为整
数），设每周销售该款笔记本所获利润为 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最
大，最大利润是多少元？
【答案】（1） ；（2）销售单价为 15 元时，每周所获利润最大，最大利
润是 1750 元．
【分析】
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）根据每周销售利润=每本笔记本的利润×每周销售数量可得 w与x的二次函数关系式，
再根据二次函数的性质即可求出结果．
【详解】
3
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