《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》五 商品最大利润问题（解析版）

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专题五 商品最大利润问题
1．（2020 滨州）某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克，则一个月可售
出500 千克；若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1元，则月销售量就减少 10 千克．
（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为 8750 元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为 x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为 m元，获得的月利润为 y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得 y与
x的关系式，有二次函数的性质可求解．
【解析】（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果＝500 10×﹣ （55 50﹣ ）＝450 千克；
（2）设每千克水果售价为 x元，
由题意可得：8750＝（x40﹣ ）[500 10﹣ （x50﹣ ）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为 65 元或 75 元；
（3）设每千克水果售价为 m元，获得的月利润为 y元，
由题意可得：y＝（m40﹣ ）[500 10﹣ （m50﹣ ）]＝﹣10（m70﹣ ）2+9000，
∴当 m＝70 时，y有最大值为 9000 元，
答：当每千克水果售价为 70 元时，获得的月利润最大值为 9000 元．
2．（2020 甘孜州）某商品的进价为每件 40 元，在销售过程中发现，每周的销售量 y（件）与销售单价 x
（元）之间的关系可以近似看作一次函数 y＝kx+b，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价
定为 70 元/件时，每周销售 10 件．
1
（1）求 k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周
可获得的最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由销售该商品每周的利润 w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）由题意可得：
{
30=50 k+b
10=70 k+b
，
∴
{
k=−1
b=80
，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x40﹣ ）y＝（x40﹣ ）（﹣x+80）＝﹣（x60﹣ ）2+400，
∴当 x＝60 时，w有最大值为 400 元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为 400 元．
3．（2020 成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的
利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种方式
进行销售．调查发现，线下的月销量 y（单位：件）与线下售价 x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次
函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求 y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜 2元，且线上的月销量固定为 400 件．试问：当 x为多少时，线
上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）由待定系数法求出 y与x的函数关系式即可；
2
（2）设线上和线下月利润总和为 m元，则 m＝400（x2 10﹣ ﹣ ）+y（x10﹣ ）＝400x4800+﹣ （﹣
100x+2400）（x10﹣ ）＝﹣100（x19﹣ ）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【解析】（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设 y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100 代入得：
{
1200=12 k+b
1100=13 k+b
，
解得：
{
k=−100
b=2400
，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为 m元，
则m＝400 （x2 10﹣ ﹣ ） +y（x10﹣ ） ＝ 400x4800+﹣ （ ﹣ 100x+2400 ） （ x10﹣ ） ＝ ﹣ 100 （x﹣
19）2+7300，
∴当 x为19 元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为 7300 元．
4．（2020 遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环
境，准备到一家植物种植基地购买 A、B两种花苗．据了解，购买 A种花苗 3盆，B种花苗 5盆，则需
210 元；购买 A种花苗 4盆，B种花苗 10 盆，则需 380 元．
（1）求 A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人
员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你
为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【分析】（1）设 A、B两种花苗的单价分别是 x元和 y元，则
{
3x+5y=210
4x+10 y=380
，即可求解；
（2）设购买 B花苗 x盆，则购买 A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为 w元，由题意得：w＝20（12﹣x）
+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解．
3
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