《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》四 最佳方案问题（解析版）

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专题四 最佳方案问题
1．（2020 达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a380 940
餐椅 a140﹣160
已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中 a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．
若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎
样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据数量＝总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出 a值；
（2）设购进餐桌 x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张，可得出关于 x
的一元一次不等式，解之即可得出 x的取值范围，设销售利润为 y元，根据销售方式及总利润＝单件
（单套）利润×销售数量，即可得出 y关于 x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】（1）根据题意得：
600
a −140 =1300
a
，
解得 a＝260，
经检验，a＝260 是原分式方程的解．
答：表中 a的值为 260．
（2）设购进餐桌 x张，则购进餐椅（5x+20）张，
1
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为 y元，
根据题意得：y＝[940 260 4×﹣ ﹣ （260 140﹣ ）]
×1
2
x+（380 260﹣ ）
×1
2
x+[160﹣（260 140﹣ ）]×（5x+20
4﹣
×1
2
x）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当 x＝30 时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．
答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 9200 元．
2．（2020 乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成
都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆）
商务车 6 300
轿车 4
（1）如果单程租赁 2辆商务车和 3辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载
的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【分析】（1）设租用一辆轿车的租金为 x元，根据“单程租赁 2辆商务车和 3辆轿车共需付租金 1320
元”列方程解答即可；
（2）分三种情况讨论：①只租用商务车；②只租用轿车；③混和租用两种车．分别求出每种情况所需
租金，再比较大小即可解答．
【解析】（1）设租用一辆轿车的租金为 x元，
2
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为 240 元；
（2）①若只租用商务车，
∵
34
6=52
3
，
∴只租用商务车应租 6辆，所付租金为 300×6＝1800（元）；
②若只租用轿车，
∵
34
4=8.5
，
∴只租用轿车应租 9辆，所付租金为 240×9＝2160（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车 m辆，租用轿车 n辆，租金为 W元．
由题意，得
{
6m+4n=34
W=300 m+240 n
，
由6m+4n＝34，得 4n＝﹣6m+34，
∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，
∵﹣6m+34＝4n≥0，
∴
m ≤ 17
3
，
∴1≤m≤5，且 m为整数，
∵W随m的增大而减小，
∴当 m＝5时，W有最小值 1740，此时 n＝1．
综上，租用商务车 5辆和轿车 1辆时，所付租金最少为 1740 元．
3
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