《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题38 母子型问题（解析版）

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专题 38 母子型问题
【规律总结】
如 图 , 在 Rt△ABC 中 ,
∠ACB=90 ° ,CD ⊥AB
,则 有 Rt△ACD∽Rt△ABC,
Rt△CBD Rt∽ △ABC, Rt△ACD Rt∽ △CBD.其 中 ,Rt△ACD Rt∽ △CBD 为姊妹型相似,
Rt△ACD∽Rt△ABC, Rt△CBD Rt∽ △ABC 为母子型相似.
D
C
B
A
D
C
B
A
图（11）
如图所示,若
∠ACD =∠B
（或
）,则△ACD∽△ABC,为母子型相似.
【典例分析】
例1．（2020·桂林市国龙外国语学校九年级月考）如图， 正方形 ABCD 中，△ 绕点
A逆时针转到 ， ， 分别交对角线 BD 于点 E，F，若 AE=4，则 的
值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
1
【分析】
根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC 和∠EAF 和∠ADB 都等于 45°，再加上公共角得到
△AEF 与△DEA 相似，得到对应边成比例即可得到结果．
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC= ADB=45°∠，
∵把△ABC 绕点 A逆时针旋转到 ，
∴∠EAF= BAC=45°∠，
∴∠EAF= ADB=45°∠，
∵∠AEF= DEA∠，
∴△AEF DEA∽△ ，
∴ ，
∴EF·ED=AE2，
∵AE=4，
∴EF·ED=16，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形
是解题的关键．
例2．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）如图，在边长为 4正方形 中，以
2
为腰向正方形内部作等腰 ，点 在 上，且 ．连接 并延长，
与 交于点 ，与 延长线交于点 ．连接 交 于点 ．若 ，
则____．
【答案】
【分析】
作 于 ， 交 于 ，根据勾股定理可得 BG，再由相似三角形的性质
可得 BH，继而判定 ，并求得 BF 的长，由全等三角形的性质可得 ME，利
用线段的和差求得 EN，进而由三角形面积公式即可求解．
【详解】
作 于 ， 交 于 ，如图，则 ，
3
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