《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题19 等腰旋转问题（解析版）

3.0 envi 2025-04-17 18 4 765.52KB 25 页 3知币
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专题 19 等腰旋转问题
【规律总结】
等腰直角三角形在旋转变换下的探究性问题，是近几年中考数学命题的热点，其探究
过程常与三角形的全等和相似、勾股定理、正方形的性质以及函数方程等知识有关，是一
类对能力要求较高的问题。具体归纳为以下几种类型进行分析.
一、90°角绕直角顶点旋转
二、90°角绕斜边中点旋转
三、45°角绕直角顶点旋转
四、45°角绕斜边中点旋转
【典例分析】
例1．（2021·上海九年级专题练习）如图 1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支
架ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A旋转，摆动臂 DM 可绕点 D旋
转，AD=30，DM=10．
（1）在旋转过程中，当 A，D，M为同一直角三角形的顶点时，AM 的长为____；
（2）若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°，点 D的位置由 外的点 D1转到其内的点 D2处，
连结 D1D2，如图 2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，BD2的长为_____．
【答案】 或 ．
【分析】
（1）由题意 不是最长边，所以∠MAD 不能为直角．当∠AMD 为直角时，根据
1
，计算即可，当∠ADM=90°时，根据 ，计算即可．
（2）连接 ．首先利用勾股定理求出 ，再利用全等三角形的性质证明 即
可．
【详解】
解：（1）由题意 不是最长边，所以∠MAD 不能为直角．
当∠AMD 为直角时， ，
∴ 或（ 舍弃）．
当∠ADM=90°时， ，
∴AM= 或（ 舍弃）．
综上所述，满足条件的 AM 的值为 或 ．
（2）如图 2中，连接 ，
由题意： ，
2
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∵∠BAC= ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=AC， ，
∴ （SAS），
∴ ．
故答案为：（1） 或 ，（2）
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例2．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角 中， ，
点D是 上一点，连接 ，把 绕点 A逆时针旋转 90°，得到 ，连接 交
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