《新九年级数学暑假精品课程（沪科版）》第14讲 相似三角形的性质（解析版）

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第14 讲 相似三角形的性质
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何
把实际问题抽象为数学问题）.
【基础知识】
一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽ ，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ，则
2
1 1
2 2 =
1 1
2 2
ABC
A B C
BC AD k B C k A D
Sk
SB C A D B C A D
 
 
 
 
   
 
△
△
1
要点诠释： 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、相似 三角形的应用
1.测量高 度
测 量 不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻
物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影
子 测 量法 手臂测量法
标 杆 测量法
2. 测 量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求
出 AB 的长.
2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.
　　
要点诠释：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等
于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【考点剖析】
考点一：利用相似三角形的性质求解
例1．1．已知相似三角形面积的比为 9:4，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A．9:4 B．4:9 C．3:2 D．81:16
【答案】C
【分析】
2
由相似三角形的面积比为 9：4，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”和“相似三角形的周长比
等于相似比”进行求解．
【详解】
∵相似三角形的面积比为 9：4，
∴这两个相似三角形的相似比为：3：2，
∴这两个相似三角形的周长比为：3：2．
故选：C．
考点二：相似三角形的判定与性质综合
例2．2．《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百
一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中 ， 处各开一道门，从点
往正北方向走40 步刚好有一棵树位于点 处，若从点往正西方向走810 步到达点 处时正好看到此树，
则正方形城池的边长为（ ）
A．360 步B．270 步C．180 步D．90 步
【答案】A
【分析】
先根据平行线的性质得出 ，再根据相似三角形的判定与性质得出 ，然后求解
即可．
【详解】
设正方形城池的边长为 步
则
3
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