7.5 多边形的内角和与外交和-七年级数学下册同步课堂帮帮帮（苏科版）（原卷版）

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多边形的内角和与外角和
知识点一、三角形三个内角之间的关系
1. 三角形的内角和是 180°.
当已知三角形两个内角的度数或两个内角的度数和时，利用它可求第三个内角的度数，当已知三个内
角间的一些数量关系时，也可利用它列方程求各个角的度数.
2. 直角三角形两个锐角和是 90°，即直角三角形的两个锐角互余；
3. 三角形的三个内角中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，三角形中最大内角不小于 60°.
例：具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝3∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【分析】根据直角三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、由∠A＝∠B＝3∠C，可得∠A＝∠B
¿3
7
×
180°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合
题意．
B、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，△ABC 是直角三角形，本选项不符合题意．
C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，△ABC 是直角三角形，本选项不符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，推出∠C＝90°，△ABC 是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
知识点二、多边形的内角和公式
1. n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)；
通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数.
2. 多边形的内角和公式推导：
如图所示，从 n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把 n边形分成（n－
1
2）个三角形，每个三角形的内角和是 180°，所以 n边形的内角和是(n-2)·180°.
3. 正 多 边 形 ： 各 个 角 相 等 、 各 条 边 相 等 的 多 边 形 叫 做 正 多 边 形 .正n边 形 的 每 个 内 角 都 为
.
例：正九边形的每个内角的度数为（　　）
A．40 B．80 C．120 D．140
【分析】根据多边形的内角和定理可计算求解．
【解答】解：（9 2﹣）×180°÷9＝140°，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
知识点三、多边形的外角和
1. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
2. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边
形的外角和恒等于 360°，与边数的多少没有关系.
如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形 ABCDE 的外角和，为 360°.
3. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 .
4. 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于 180°，所以 n边形的外角和等
于n个180°的平角减去多边形的内角和，即 .
例：若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的 2倍，则它的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式即可求解．
2
【解答】解：设边数为 n，
∵多边形的内角和公式为：（n2﹣）×180°，
∴多边形的每个内角为：
(n − 2)×180 °
n
，
∵多边形的外角和公式为：360°，
∴多边形的每个外角为：
360°
n
，
∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的 2倍，
∴
(n − 2)×180 °
n=360 °
n
×
2，
∴n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和公式，本题的解题关键是由公式得出边数．
巩固练习
一．选择题（共 12 小题）
1．若一个正多边形的外角等于其内角，则这个正多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．将△ABC 纸片沿 DE 按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．35°
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D在AB 上，将△BDC 沿CD 折叠，点 B落在 AC 边上的点 B′处，
若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（　　）
3
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