6.5 一次函数与二元一次方程-八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）（原卷版）

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一次函数与二元一次方程
知识点一、一次函数与二元一次方程的关系
1. 一次函数 y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx－y＋b＝0 的解，以二元一次方程 kx
－y＋b＝0 的解为坐标的点都在一次函数 y＝kx＋b的图像上.
2. 二元一次方程与一次函数的区别：
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的
关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系.
3. 二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标
的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）.
例：下列图像中，以方程 y－2x－2＝0 的解为坐标的点组成的图像是（ ）
【解答】B
【解析】∵方程 y－2x－2＝0 其中的两组解为 x＝0，y＝2 和 x＝－1，y＝0，
∴过点（0,2）与（－1,0）的直线就是以方程 y－2x－2＝0 的解为坐标的点组成的图像.
知识点二、一次函数与二元一次方程组
1. 如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.
2. 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
3. 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
4. 当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数
的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立.
5. 当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
6. 方程组解的几何意义
（1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标；
（2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（）
（3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
1
（4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.
例：如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线 l1、l2的交点坐标为解
的方程组是（　　）
A．
{
3x−4y=6
3x−2y=0
B．
{
3x−4y=6
3x+2y=0
C．
{
3x−4y=−6
3x−2y=0
D．
{
−3x+4y=6
3x+2y=0
【解答】C
【解析】设直线 l1的解析式为 y＝kx+b，
∵l1经过点（0，1.5）和（2，3），
∴
{
1.5=b
3=2k+b
，
解得：
{
b=1.5
k=3
4
，
∴直线 l1的解析式为 y
¿3
4
x+1.5，
设直线 l2的解析式为 y＝ax，
∵l2经过点（2，3），
∴3＝2a，
解得：a
，
∴直线 l2的解析式为 y
¿3
2
x，
2
∴以两条直线 l1、l2的交点坐标为解的方程组是
{
y=3
4x+1.5
y=3
2x
，
即
{
3x−4y=−6
3x−2y=0
，
故选 C．
巩固练习
一．选择题
1． 如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线 l1、l2的交点坐标为解
的方程组是（　　）
A．
{
3x−4y=6
3x−2y=0
B．
{
3x−4y=6
3x+2y=0
C．
{
3x−4y=−6
3x−2y=0
D．
{
−3x+4y=6
3x+2y=0
2． 已知直线 l1：y＝﹣3x+b与直线 l1：y＝﹣kx+1 在同一平面直角坐标系中交于点（1，﹣2），那么方程
组
{
3x+y=b
kx +y=1
的解是（　　）
A．
{
x=1
y=−2
B．
{
x=1
y=2
C．
{
x=−1
y=−2
D．
{
x=−1
y=2
3． 如图直线 y＝k1x+b与直线 y＝k2x都经过点 A（﹣1，﹣2），则方程组
{
y=k1x+b
y=k2x
的解是（　　）
3
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