《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题69 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题(解析版)

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专题 69 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题

【专题说明】

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为

学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建

问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨

迹基本类型为直线型和圆弧型.

【知识精讲】

动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值

（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不

变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P在BC 上运动时，Q点轨迹是？

【分析】当 P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

可以这样理解：分别过 A、Q向BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ，

所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q点到 BC 的距离是定值，故 Q点轨迹是一条直线．

【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点 P在直线 BC 上运动时，

求Q点轨迹？

【分析】当 AP 与AQ 夹角固定且 AP:AQ 为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的 Q点的位置，连线即可，比如 Q点的起始位置和

终点位置，连接即得 Q点轨迹线段．

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．

结论：

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ 等于 MN 与BC 夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于 AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得 AP:AQ=BC:MN）

【精典例题】

1、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E为BC 上一点，且 BE=1，F为AB 边上的一个动点，连接 EF，以

EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为　　．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值，可以将 F点看成是由

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