《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题64 将军饮马模型与最值问题（解析版）

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专题 64 将军饮马模型与最值问题
【模型引入】
什么是将军饮马？
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】
如图，将军在图中点 A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
A
B
将军
军营
河
【模型抽象】
如图，在直线上找一点 P使得 PA+PB 最小？
P
B
A
这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之
间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【模型解析】
作点 A关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PB
A
'
A
B
P
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
1
折点
端点
A
'
P
B
A
【模型展示】
【模型】一、两定一动之点点
在OA、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小．
M
N
P''
P'
N
M
B
A
P
O
O
P
A
B
此处 M、N均为折点，分别作点 P关于 OA（折点 M所在直线）、OB（折点 N所在直线）的对称点，化折
线段 PM+MN+NP 为P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小．
【精典例题】如图，点 P是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M和点 N分别是射线 OA 和射线
OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．
P
O
B
A
M
N
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N均为折点，分别作点 P关于 OB、OA 对称点
P’、P’’，化 PM+PN+MN 为P’N+MN+P’’M．
P'
P''
N
M
A
B
O
P
当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等
边三角形，所以 P’P’’=OP’=OP=8．
2
P
O
B
A
M
N
P''
P'
【模型】二、两定两动之点点
在OA、OB 上分别取点 M、N使得四边形 PMNQ 的周长最小。
Q'
P'
M
N
B
A
P
O
Q
Q
O
P
A
B
N
M
考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q关于 OA、OB 对称，化
折线段 PM+MN+NQ 为P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB 上分别取 M、N使得 PM+MN 最小。
P'
M
N
B
A
P
O
O
P
A
B
N
M
此处 M点为折点，作点 P关于 OA 对称的点 P’，将折线段 PM+MN 转化为 P’M+MN，即过点 P’作OB 垂线
分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转
化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段
的长度等于 最小值的是（ ）
3
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