《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题57 三角形中作辅助线造全等(解析版)

3.0 envi 2025-04-17 20 4 382.57KB 39 页 3知币

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专题 57 三角形中作辅助线造全等

1、如图 1，OA＝2，OB＝4，以点 A为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC．

（Ⅰ）求 C点的坐标；

（Ⅱ）如图 2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以 P为直角顶点，PA 为腰等腰直角△APD，

过D作DE⊥x轴于 E点，求 OP﹣DE 的值；

（Ⅲ）如图 3，点 F坐标为（﹣4，﹣4），点 G（0，m）在 y轴负半轴，点 H（n，0）x轴的正半轴，

且FH⊥FG，求 m+n的值．

解：（Ⅰ）如图 1，过 C作CM⊥x轴于 M点，如图 1所示：

∵CM⊥OA，AC⊥AB，

∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，

∴∠MAC＝∠OBA，

在△MAC 和△OBA 中，，

∴△MAC≌△OBA（AAS），

∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，

∴OM＝6，

∴点 C的坐标为（﹣6，﹣2），

故答案为（﹣6，﹣2）；

（Ⅱ）如图 2，过 D作DQ⊥OP 于Q点，

则四边形 OEDQ 是矩形，

∴DE＝OQ，

∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，

∴∠QPD＝∠OAP，

在△AOP 和△PDQ 中，，

∴△AOP≌△PDQ（AAS），

∴AO＝PQ＝2，

∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；

（Ⅲ）如图 3，过点 F分别作 FS⊥x轴于 S点，FT⊥y轴于 T点，

则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，

∴四边形 OSFT 是正方形，

∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，

∴∠HFS＝∠GFT，

在△FSH 和△FTG 中，，

∴△FSH≌△FTG（AAS），

∴GT＝HS，

又∵G（0，m），H（n，0），点 F坐标为（﹣4，﹣4），

∴OT═OS＝4，

∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，

∴﹣4﹣m＝n+4，

∴m+n＝﹣8．

2、如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 M在△ABC 内，AM 平分∠BAC．点 D与点 M在AC 所在直线的两侧，

AD⊥AB，AD＝BC，点 E在AC 边上，CE＝AM，连接 MD、BE．

（1）补全图形；

（2）请判断 MD 与BE 的数量关系，并进行证明；

（3）点 M在何处时，BM+BE 会有最小值，画出图形确定点 M的位置；如果 AB＝5，BC＝6，求出

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