《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题53 巧用图形的平移解决几何问题(解析版)

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专题 53 巧用图形的平移解决几何问题

【专题说明】

阅读理解：在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加（或减去）一个正数 k，就是把这个

点向右（或向左）平移 k个单位长度；反之如果把一个点向右（或向左）平移 k个单位长度，就是把这

个点的横坐标都加（或减去）一个正数 k．

在平面直角坐标系内，如果把一个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 k，就是把这个点向上（或

向下）平移 k个单位长度；反之如果把一个点向上（或向下）平移 k个单位长度；就是把这个点的纵坐

标都加（或减去）一个正数 k．

【知识精讲】

应用探究：（1）对数轴上的点 P进行如下操作：先把点 P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右

平移 1个单位，得到点 P的对应点 P′．点 A，B在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到

线段 A′B′，其中点 A，B的对应点分别为 A′，B′．如图 1，若点 A表示的数是﹣3，则点 A′表示的数是　

；若点 B′表示的数是 2，则点 B表示的数是　　；已知线段 AB 上的点 E经过上述操作后得到的对应

点E′与点 E重合，则点 E表示的数是　　．

（2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对等边三角形 ABC 及其内部的每个点进行如下操作：把每个

点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m个单位，再向上平移 n个单位（m＞

0，n＞0），得到等边三角形△A′B′C′及其内部的点，其中点 A（﹣3，0），B（3，0）的对应点分别为

A′（﹣1，2），B′（2，2）．已知等边三角形 ABC 内部的一个点 F经过上述操作后得到的对应点 F′与点

F重合，求点 F的坐标．

解：（1）点 A′：﹣3× +1＝﹣1+1＝0，

设点 B表示的数为 a，则 a+1＝2，

解得 a＝3，

设点 E表示的数为 b，则 b+1＝b，

解得 b＝；

故答案为：0，3，；

（2）根据题意，得：，

解得：，

设点 F的坐标为（x，y），

∵对应点 F′与点 F重合，

∴x+＝x，y+2＝y，

解得 x＝1，y＝4，

所以，点 F的坐标为（1，4）．

【知识精讲】

1、如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B的坐标为（2，0），

点A在第一象限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′A′B′的位置，

此时点 A′的横坐标为 3，则点 B′的坐标为 .

【解析】作AM x⊥轴于点 M.根据等边三角形的性质得 OA=OB=2，∠AOB=60°，

在Rt OAM△中,利用含 30°角的直角三角形的性质求出 OM=1，AM= ，从而求得

点A的坐标为（1，），直线 OA 的解析式为 y= x,当x=3 时，y=3 ,所以

点A′的坐标为（3，3），所以点 A′是由点 A向右平移 2个单位，向上平移

23 个单位后得到的，于是得点 B′的坐标为（4,2 ）.

【答案】（4,23）

2、在 Rt ABC△中, BAC=90°, B=30°,∠ ∠ 线段 AD 是BC 边上的中线,如图 1,将△ADC 沿直线 BC 平移,使点 D

与点 C重合,得到△FCE,如图 2,再将△FCE 绕点 C顺时针旋转,设旋转角为 α(0°＜α≤90°),连接 AF,DE．

(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角 α的度数；

(2)探究旋转过程中四边形 ADEF 能形成哪些特殊四边形？请说明理由．

【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点 E和点 D在直线 AC 两侧；②点 E和点 D在直线

AC 同侧；(2)在旋转过程中,总是存在 AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊

四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．

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