《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题05 手拉手模型构造全等三角形(提升训练)(解析版)

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专题 05 手拉手模型构造全等三角形

1、已知△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接 CE．

（1）如图 1，若点 D在AB 边上，点 F是CE 的中点，连接 BF．当 AC＝4时，求 BF 的长；

（2）如图 2，将图 1中的△BDE 绕点 B按顺时针方向旋转，使点 D在△ABC 的内部，连接 AD，取 AD

的中点 M，连接 EM 并延长至点 N，使 MN＝EM，连接 CN．求证：CN⊥CE．

解：（1）∵△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，

∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，

∵AB＝2BD，

∴AD＝BD＝2，

∴BE＝2，

∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，

∴CE＝＝＝2，

∵点 F是CE 的中点，

∴BF＝CE＝；

（2）如图，连接 AN，设 DE 与AB 交于点 H，

∵点 M是AD 中点，

∴AM＝MD，

又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，

∴△AMN≌△DME（SAS），

∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，[来源:学#科#网]

∴AN∥DE，

∴∠NAH+∠DHA＝180°，

∵∠N AH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，

∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，

∴∠NAC+∠DBH＝90°，

∵∠CBA+∠D BE＝45°+45°＝90°，

∴∠CBE+∠DBH＝90°，

∴∠CBE＝∠NAC，

又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，

∴△ACN≌△BCE（SAS），

∴∠ACN＝∠BCE，

∵∠BCE+∠ACE＝90°，

∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，

∴CN⊥CE．

2、如图，△ABC 中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点 D为边 BC 上的一动点（不与点 B、C重合），将线段

AD 绕点 A顺时针旋转得 AE，使∠DAE＝∠BAC，DE 与AB 交于点 F，连接 BE．

（1）求 BC 的长；

（2）求证∠ABE＝∠ABC；

（3）当 FB＝FE 时，求 CD 的长．

解：（1）如图，过点 A作AH⊥BC 于点 H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝BC，

∵tan ∠ACB＝＝，

∴设 AH＝3k（k＞0），CH＝4k，

∵AC2＝AH2+CH2，

∴9k2+16k2＝25，

∴k＝1，

∴HC＝4，

∴BC＝2CH＝8；

（2）∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠B AE，

∵将线段 AD 绕点 A顺时针旋转得 AE，

∴AE＝AD，

又∵AB＝AC，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

∴∠ABE＝∠ACD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACD，

∴∠ABE＝∠ABC；

（3）∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE，

又∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠BEF＝∠DAF，

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