专题11 四边形中的动点问题（解析版）

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专题 11：四边形中的动点问题
8. 如图，在等边三角形
ABC
中，
BC=6cm
．射线
AG /¿BC
，点
E
从点
A
出发沿射线
AG
以
1cm /s
的速度
运动，同时点
从点
B
出发沿射线
BC
以
2cm /s
的速度运动，设运动时间为
t
(
s
)
.
(1)
连接
EF
，当
EF
经过
AC
边的中点
D
时，求证：
△ADE ≅△CDF
；
(2)
当
t
为多少秒时，四边形
ACFE
是菱形？
(3)
当
t
为________
s
时，以
A
、
F
、
C
、
E
为顶点的四边形是直角梯形．
(1)
证明：∵
AG /¿BC
，
∴
∠EAD=∠DCF
，
∠AED=∠DFC
，
∵
D
为
AC
的中点，
∴
AD=CD
，
在
△ADE
和
△CDF
中，
{
∠EAD=∠DCF ，
∠AED=∠DFC ，
AD =CD ，
∴
△ADE ≅△CDF
(
AAS
)
.
(2)
解：若四边形
ACFE
是菱形，
则有
CF =AC =AE=6
，
则此时的时间
t=6÷1=6
(
s
)
，
故
t
为
6s
时，四边形
ACFE
是菱形.
9. 如图，在菱形
ABCD
中，
AB=6
，
∠DAB=60∘
，点
E
是
AD
边的中点，点
M
是
AB
边上一动点（不与点
A
重合），延长
ME
交射线
CD
于点
N
，连接
MD
，
AN .
2
(1)
求证：四边形
AMDN
是平行四边形；
(2)
①当
AM
的值为________时，四边形
AMDN
是矩形；
② 若
AM =6
，求证：四边形
AMDN
是菱形.
(1)
证明：∵ 四边形
ABCD
是菱形，
∴
AB /¿CD
，
∴
∠DNE=∠AME
，
∠NDE=∠MAE
，
∵ 点
E
是
AD
边的中点，
∴
DE=AE
，
在
△NDE
和
△MAE
中，
{
∠DNE=∠AME ，
∠NDE=∠MAE ，
DE=AE ，
∴
△NDE ≅△MAE (AAS )
，
∴
NE=ME
，
∴ 四边形
AMDN
是平行四边形.
(2)
①解：∵ 四边形
ABCD
为菱形，
∴
AB=AD=6
，
∵ 点
E
为边
AD
的中点，
∴
AE=1
2
AD=3
，
∵
四边形
AMDA
是矩形，
∴
EM =1
2
MN =1
2
AD=AE=3
，
∵
∠DAB=60∘
，
∴
△AEM
是等边三角形，
∴
AM =EM =3
.
3
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