专题11 几何中常见模型及辅助线题型大视野（原卷版）

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专题 11 几何中常见模型及辅助线题型大视野

【例题精讲】

题型一、手拉手模型

例题. 【2019·惠州市期末】如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，正方形 A′B′C′D′的顶点 A′

与点 O重合，A′B′交BC 于点 E，A′D′交CD 于点 F.

（1）求证：OE=OF；

（2）若正方形 ABCD 的边长为 1，求两个正方形重叠部分的面积；

（3）若正方形 A′B′C′D′绕着 O点旋转，EF 的长度何时最小，并求出最小值.

题型二、一线三直角模型

例题. 【2019·临沂市期中】如图，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过

点B，直角顶点 P在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于Q．

（1）如图①，当点 Q在DC 边上时，猜想并写出 PB 与PQ 所满足的数量关系，并加以证明；

（2）如图②，当点 Q落在 DC 的延长线上时，猜想并写出 PB 与PQ 满足的数量关系，并证明你的猜想．

题型三、辅助线

例1. 【2019·莆田市期末】如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F分别是 BC、AB 上一点，且 AF=BE，AE 与

DF 交于点 G．

（1）求证：AE=DF．

（2）如图 2，在 DG 上取一点 M，使 AG=MG，连接 CM，取 CM 的中点 P．写出线段 PD 与DG 之间的数

量关系，并说明理由．

例2. 【2019·武汉市期末】在平行四边形 ABCD 中，E是AD 上一点，AE=AB，过点 E作直线 EF，在 EF 上

取一点 G，使得∠EGB=∠EAB，连接 AG．

（1）如图①，当 EF 与AB 相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；

（2）如图②，当 EF 与CD 相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明

你的结论．

【刻意练习】

1. 【2018·容县期末】如图，已知△ABC 中，AC＝BC＝5，AB＝5，三角形顶点在相互平行的三条直线

L1，L2，L3上，且 L2，L3之间的距离为 3，则 L1，L3之间的距离是　．

2. 【2019·长沙市雨花区期末】在正方形 ABCD 中，连接 BD，P为射线 CB 上的一个动点（与点 C不重合），

连接 AP，AP 的垂直平分线交线段 BD 于点 E，连接 AE，PE．

提出问题：当点 P运动时，∠APE 的度数，DE 与CP 的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点 P的两个特殊位置：

①当点 P与点 B重合时，如图 1-1 所示，∠APE=______°，用等式表示线段 DE 与CP 之间的数量关系：__

____；

②当 BP=BC 时，如图 1-2 所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：______；（填“变化”或

“不变化”）

（2）然后考察点 P的一般位置：依题意补全图 2-1，2-2，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一

般情况下______（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图 2-1 和图 2-2 中任选一个进行证明；若不

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