专题11 分式的基本概念和基本性质（解析版）

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专题 11 分式的基本概念和基本性质
考点一 分式的概念
【方法点拨】
（1）分式的概念：一般地，如果 A，B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式．
（2）因为 0不能做除数，所以分式的分母不能为 0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是
A
B
的形式，从
本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如 x
+1
x+¿
2是分式，如果形式都不是
A
B
的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如
（a+b）﹣2，y 1﹣，则为分式，因为 y 1﹣
¿1
y
仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
【典例剖析】
1．（2018 秋•常德期末）在
1
x，3
x+y，1
2，2xy
π，−x+1
3
中，分式有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．
【解析】解：在
1
x，3
x+y，1
2，2xy
π，−x+1
3
中分式有
两个，
故选：B．
2．（2019 秋•任城区期中）下列各式中不是分式的是（　　）
A．
2x
x+y
B．
1
π2
C．
1
x2
D．
x3
x −1
【点拨】根据分式的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，故不是分式，故本选项正确；
C、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误；
1
D、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误．
故选：B．
3．（2018 秋•错那县期末）在
1
x
、
1
3
、
x2+1
2
、
5+y
π
、
a+1
m
中分式的个数有（　　）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．
【解析】解：分式有在
1
x
、a
+1
m
共2个．
故选：A．
4．（2019•郓城县模拟）一组按规律排列的式子：
2
a
，
−5
a2
，
10
a3
，
−17
a4
，
26
a5
，…，其中第 7个式子是
，第 n个式子是　　（用含的 n式子表示，n为正整数）．
【点拨】观察分母的变化为 a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…
n2+1；分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1．
【解析】解：∵
2
a=¿
（﹣1）2•
12+1
a1
，
−5
a2=¿
（﹣1）3•
22+1
a2
，
10
a3=¿
（﹣1）4•
32+1
a3
，
…
∴第 7个式子是
50
a7
，
第n个式子为：
¿
．
故答案是：
50
a7
，
¿
．
5．（2018 秋•鸡东县期末）当 x　　时，分式
2x+1
x2
的值为正．
【点拨】同号为正，异号为负．
分母≠0．
【解析】解：分式
2x+1
x2
的值为正，
2
即
2x+1
x2＞
0，
解得 x
＞−1
2
，
因为分母不为 0，所以 x≠0．
故当 x
＞−1
2
且x≠0 时，分式
2x+1
x2
的值为正．
6．观察给定的分式：
1
x，2
x2，4
x3，8
x4，16
x5，⋯
，猜想并探索规律，那么第 n个分式是　　．
【点拨】先看分子，后面一项是前面一项的 2倍（第一项是 1，第二项是﹣2，…第 n项是 2n1﹣）；再看
分母，后面一项是前面一项的 x倍（第一项是 x，第二项是 x2，…第 n项是 xn）；据此可以找寻第 n个
分式的通式．
【解析】解：先观察分子：
1、21、22、23、…2n1﹣；
再观察分母：
x、x1、x2、…xn；
所以，第 n个分式
2n −1
xn
；
故答案是：
2n −1
xn
．
7．给定下面一列分式：
x3
y，−x5
y2，x7
y3，−x9
y4
，…，（其中 x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第 7个分式．
【点拨】根据题中所给的式子找出规律，根据此规律找出所求式子．
【解析】解：（1）
−x5
y2÷x3
y=−x2
y
；
x7
y3÷
（
−x5
y2
）
¿−x2
y⋯
规律是任意一个分式除以前面一个分式恒
等于
−x2
y
；
（2）∵由式子：
x3
y，−x5
y2，x7
y3，−x9
y4
，…，发现分母上是 y1，y2，y3，…故第 7个式子分母上是
y7，分子上是 x3，x5，x7，故第 7个式子是 x15，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正，
∴第 7个分式应该是
x15
y7
．
3
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