专题07方程与不等式（解析版）-2021年初升高数学无忧衔接（人教A版2019）

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专题 07 方程与不等式

一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，也与后面的线性规

划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法 .一元二次

不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性.

一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用二次函数的图象

确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等

式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.

二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，

掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤：

①.将含 x的式子用 y来表示，构建一个一元二次函数；

②.令这个函数中的 y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零

点；

③.利用图象开口与零点画出对应函数的草图；

④观察草图，得出不等式所对应的解集.

《初中课程要求》 1、了解了一元二次不等式的概念，会解一些简单的元二次不等

式，如二次项系数为 1 的一元二次不等式

2、熟悉一元二次方程的求根公式，初步认识了一元二次方程与

二次函数的关系，但对根的分布情况没有深入了解

《高中课程要求》 1、熟练各种一元二次不等式的解法，并熟记解题技巧，会解含

参数的一元二次不等式

2、理解一元二次方程根的各种分布情况，能找出每种分布情况

的等价条件并求解；掌握利用二次函数的图象来解决根的分布问

题

专题综述

课程要求

知识精讲

高中必备知识点 1：二元二次方程组的解法

方程

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其

中, , 叫做这个方程的二次项, , 叫做一次项,6 叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组

成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

高中必备知识点 2：一元二次不等式的解法

为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a＞0时的一元二次不等式的解．

我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△

＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物

线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3－2所示)，因此，

我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与 ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的

解．

（1）当 Δ＞0时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程 ax2＋bx＋

c＝0有两个不相等的实数根 x1和x2(x1＜x2)，由图 2.3－2①可知

不等式 ax2＋bx＋c＞0的解为

x＜x1，或 x＞x2；

不等式 ax2＋bx＋c＜0的解为

x1＜x＜x2．

（2）当 Δ＝0时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x轴有且仅有一个公共点，方程 ax2＋bx＋c＝0有

两个相等的实数根 x1＝x2＝－，由图 2.3－2②可知

不等式 ax2＋bx＋c＞0的解为

x≠－；

不等式 ax2＋bx＋c＜0无解．

（3）如果△＜0，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x轴没有公共点，方程 ax2＋bx＋c＝0没有实数根

，

由图 2.3－2③可知

不等式 ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；

不等式 ax2＋bx＋c＜0无解．

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二

次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上

面的结论去解不等式．

高中必备知识点 1：二元二次方程组的解法

【典型例题】

已知方程组

有两组相等的实数解，求

的值，并求出此时方程组的解.

【答案】

m=±1

,当

m=1

时

;当

m=−1

时

【解析】

把②代入①后计算得

(

2m2+1

)

x2+12 mx+12=0

，

∵方程组有两组相等的实数解，

∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0，

解得：

m=±1

，

当

m=1

时，解得

当

m=−1

时，解得

【变式训练】

解方程组：

【答案】

【解析】

，

由①得（x+y）（x-2y）=0，

∴x+y=0 或x-2y=0，

由②得（x+y）2=1，

∴x+y=1 或x+y=-1，

所以原方程组化为

，

所以原方程组的解为

．

典例剖析

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