专题07 旋转模型（解析版）

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专题 07 旋转模型

考点一等边模型

【方法点拨】熟练掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线

段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．

【典例剖析】

1．（2019•城步县模拟）已知：如图，在等边△ABC 中取点 P，使得 PA，PB，PC 的长分别为 3，4，5，

将线段 AP 以点 A为旋转中心顺时针旋转 60°得到线段 AD，连接 BD，下列结论：

①△ABD 可以由△APC 绕点 A顺时针旋转 60°得到；②点P与点 D的距离为 3；③∠APB＝150°；

④S△APC+S△APB

¿6+9

√

，其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④

【点拨】由线段 AP 以点 A为旋转中心顺时针旋转 60° 得到线段 AD ，根据旋转的性质有 AD ＝

AP，∠DAP＝60°，再根据等边三角形的性质得∠ BAC＝60°，AB＝AC，易得∠DAP＝∠PAC，于是

△ABD 可以由△APC 绕点 A顺时针旋转 60°得到；△ADP 为等边三角形，则有 PD＝PA＝3；在△PBD

中，PB＝4，PD＝3，由①得到 BD＝PC＝5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，且

∠BPD＝90°，则∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°；由△ADB≌△APC 得S△ADB ＝S△APC ，则有

S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的

√

倍和直角三角形的面

积公式即可得到 S△ADP+S△BPD

√

3×4＝6

√

，可判断④不正确．

【解析】解：连 PD，如图，

∵线段 AP 以点 A为旋转中心顺时针旋转 60°得到线段 AD，

∴AD＝AP，∠DAP＝60°，

又∵△ABC 为等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴∠DAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP，

∴∠DAP＝∠PAC，

∴△ABD 可以由△APC 绕点 A顺时针旋转 60°得到，所以①正确；

∵DA＝PA，∠DAP＝60°，

∴△ADP 为等边三角形，

∴PD＝PA＝3，所以②正确；

在△PBD 中，PB＝4，PD＝3，由①得到 BD＝PC＝5，

∵32+42＝52，即 PD2+PB2＝BD2，

∴△PBD 为直角三角形，且∠BPD＝90°，

由②得∠APD＝60°，

∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正确；

∵△ADB≌△APC，

∴S△ADB＝S△APC，

∴S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD

√

3×4＝6

√

，所以④不正确．

故选：C．

2．（2019 春•市中区期末）如图，△ABC 是等边三角形，D为BC 边上的点，∠BAD＝15°，△ABD 经旋转

后到达△ACE 的位置，那么旋转了（　　）

A．75° B．60° C．45° D．15°

【点拨】由△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，而 AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC 等于旋转角，

即旋转角等于 60°．

【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，

∴∠BAC 等于旋转角，

即旋转角等于 60°．

故选：B．

3．（河北模拟）如图，D为等边三角形 ABC 内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段 AD 以点 A为旋

转中心逆时针旋转 60°得到线段 AD′，下列结论：

①点D与点 D′的距离为 5；②△ACD′可以由△ABD 绕点 A逆时针旋转 60°得到；③∠ADC＝150°；④

点D到CD′的距离为 3；⑤

SADCD四边形 '=6+25

√

，

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