专题06 常见三角形的旋转模型（解析版）

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八下数学思维解法技巧培优小专题

专题 6 常见三角形的旋转模型

题型一等边三角形的旋转

【典例 1】（2019•凤山县期中）如图，在等边△ABC 中，点 D为△ABC 内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC

＝90°，将△ABD 绕点 A逆时针旋转 60°得△ACE，连接 DE．

（1）求证：AD＝DE；

（2）求∠DCE 的度数；

（3）若 BD＝1，求 AD，CD 的长．

【点拨】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE 是等边三角形即可；

（2）利用四边形的内角和即可求出结论；

（3）先求出 CD，再用勾股定理即可求出结论．

【解析】（1）证明：∵将△ABD 绕点 A逆时针旋转 60°得△ACE

∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，

∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∵△ABC 为等边三角形

∴∠BAC＝60°

∴∠DAE＝60°

∴△ADE 为等边三角形，

∴AD＝DE，

（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°

∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，

（3）∵△ADE 为等边三角形

∴∠ADE＝60°

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°

又∵∠DCE＝90°

∴DE＝2CE＝2BD＝2，

∴AD＝DE＝2

在Rt△DCE 中，

DC=

√

D E2− C E2=

√

22−12=

√

．

【典例 2】（2019•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC 内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，

求∠APB 的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP 绕点 A逆时针旋转 60°得到△ABP'，易证：

△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图 2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°．P为△ABC 内一点，且 PA＝5，PB＝

3，PC＝2

√

，则∠BPC＝　 135 　 °

（2）如图 3，在等边△ABC 中，P为△ABC 内一点，且 PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则 PC＝　 13

．

拓展廷伸：①如图 4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：

√

BD＝AD+DC．

②若图 4中的等腰直角△ABC 与Rt△ADC 在同侧如图 5，若 AD＝2，DC＝4，请直接写出 BD 的长．

【点拨】简单应用：（1）先利用旋转得出 BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2

√

，再根据勾股定

理得出 PP'

√

CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以 BP'为斜边的直角三角形，即可得出结

论；

（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可

得出结论；

拓展廷伸：①先利用旋转得出 BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点 D'在DC 的延长线

上，最后用勾股定理即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论．

【解析】解：简单应用：（1）如图 2，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将

△ACP 绕点 C逆时针旋转 90°得到△CBP'，连接 PP'，

∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2

√

，

∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，

根据勾股定理得，PP'

√

CP＝4，

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