专题05 矩形与折叠重点知识及与中点相关题型（解析版）

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专题 05 矩形与折叠重点知识及与中点相关题型
典例解析
1.【矩形判定】
【例 1-1】（2020·贵州毕节期末）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是
否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的有（ ）
①测量对角线是否相互平分；②测量两组对边是否相等；
③测量对角线是否相等；④测量其中三个角是否为直角
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A.
1
【解析】解：①对角线是否相互平分，能判定其为平行四边形；
②两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
③对角线相等的四边形不一定是矩形；
④其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：A．
【例 1-2】如图，在 中，点 是 边上的一个动点，过点 作直线 ，
以及外角 的平分线分别交 于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）当点 运动到 边的什么位置时，四边形 是矩形？回答并证明你的结论．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：∵CE 平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∴∠ACE=∠OEC，
∴OE=OC，
同理：OF=OC，
∴OE=OF；
（2）当点 O运动到 AC 边的中点时，四边形 AECF 是矩形．
证明：∵O为AC 中点，
∴OA=OC，
又∵OE=OF，
∴四边形 AECF 为平行四边形，
2
∵OE=OC，
∴2OE=2OC，
即AC=EF．
∴四边形 AECF 为矩形．
【例 2】（2020·四川广安期末）如图，在 中，过点 D作 于点 E，点 F在
边 上， ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）已知 是 的平分线，若 ，求 的长度．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD AB∥，CD=AB
∵CF=AE，
∴DF=BE，DF BE∥，
∴四边形 DFBE 是平行四边形．
又∵DE AB⊥，
∴∠DEB=90°，
∴四边形 DFBE 是矩形．
（2）解：∵∠DAB=60°，∠DEB=90°
∴∠ADE=30°
又AD=3
∴AE=1.5
由勾股定理得：DE= .
3
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