专题04 勾股定理的实际问题（解析版）

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专题四 勾股定理的实际问题
考点一 树折断问题
【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
1．如图所示，一根树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处．树折断之前（　　）米．
A．15 B．20 C．3
√
7
D．24
【思路点拨】根据勾股定理，计算树的折断部分是 15 米，则折断前树的高度是 15+9＝24 米．
【解析】解：因为
AB
＝9 米，
AC
＝12 米，
根据勾股定理得
BC
¿
√
92+1 22=¿
15 米，
于是折断前树的高度是 15+9＝24 米．
故选：
D
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．
2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面 8
m
，树的顶端离树根 6
m
，则这棵树在折断之前的高度是
（　　）
A．18
m
B．10
m
C．14
m
D．24
m
【思路点拨】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．
【解析】解：如图：
∵
BC
＝8 米，
AC
＝6 米，
∵∠
C
＝90°，
1
∴
AB
2＝
AC
2+
BC
2，
∴
AB
＝10 米，
∴这棵树在折断之前的高度是 18 米．
故选：
A
．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．
3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处，已知旗杆原长
16 米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
【思路点拨】设旗杆在离底部
x
米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于
x
的一元二
次方程，解方程求出
x
的值，此题得解．
【解析】解：设旗杆在离底部
x
米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
∵
AB
＝
x
，
AB
+
AC
＝16，
∴
AC
＝16﹣
x
．
在 Rt△
ABC
中，
AB
＝
x
，
AC
＝16﹣
x
，
BC
＝8，
∴
AC
2＝
AB
2+
BC
2，即（16﹣
x
）2＝
x
2+82，
解得：
x
＝6．
故旗杆在离底部 6 米的位置断裂．
2
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于
x
的一元二次方程．本题属
于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．
考点二 梯子滑落问题
【方法点拨】梯子滑落前后的长度是相等不变的，一般利用“两次勾股定理”求线段的长。
1．如图，一个梯子
AB
长 10 米，顶端
A
靠在墙
AC
上，这时梯子下端
B
与墙角
C
距离为 6 米，梯子滑动后停
在
DE
的位置上，测得
BD
长为 2 米，求梯子顶端
A
下落了多少米？
【思路点拨】在
RT
△
ABC
中，根据勾股定理得：
AC
＝8 米，由于梯子的长度不变，在
RT
△
CDE
中，根据
勾股定理，求出
CE
，从而得出答案．
【解析】解：在 Rt△
ABC
中，
AB
＝10 米，
BC
＝6 米，
故
AC
¿
√
A B2− B C2=
√
1 02−62=¿
8（米），
在 Rt△
ECD
中，
AB
＝
DE
＝10 米，
CD
＝（6+2）＝8 米，
故
EC
¿
√
D E2−C D2=¿
6（米），
故
AE
＝
AC
﹣
CE
＝8﹣6＝2（米）．
答：梯子顶端
A
下落了 2 米．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得
AC
和
CE
的长，
即可计算下滑的长度．
2．如图，一架 2.5 米长的梯子
AB
，斜靠在一竖直的墙
AC
上，这时梯足
B
到墙底
C
的距离为 0.7 米，如果
梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？
【思路点拨】在直角三角形
ABC
中，已知
AB
，
BC
根据勾股定理即可求
AC
的长度，根据
AC
＝
AE
+
CE
即可
3
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