专题03 动点与最短路径、图形长度最值问题大视野（解析版）

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专题 03 动点与最短路径、图形长度最值问题大视野

最短路径

原理 1：两点之间线段最短；

原理 2：垂线段最短

（1）二维平面内

前提：A点B点是固定点，点 P是x轴上一动点。

当PA+PB 最小时，在图中作出 P点位置；

当 |PA－PB| 最大时，在图中作出 P点位置；

当PA+PB 最小时，在图中作出 P点位置；

当 |PA－PB| 最大时，在图中作出 P点位置；

（2）立体图形中

常见的有立方体、长方体、楼梯、树木绕绳问题

解决方法：将立体图形曲面展开成平面图形，标出起始位置，借助勾股定理求解。

题型一、线段最值问题

例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点 E是AB 上的点，

以AC 为对角线的平行四边形 AECF，则 EF 的最小值是（　　）

A．5B．4C．1.5 D．3

【答案】D．

【解析】解：∵在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，

∴BC⊥AB，

∵四边形 AECF 是平行四边形，

∴OE＝OF，OA＝OC，

∴当 OE 取最小值时，线段 EF 最短，此时 OE⊥AB，

即OE 是△ABC 的中位线，

∴OE＝BC＝1.5，

∴EF＝2OE＝3，

即EF 的最小值是 3．

故答案为：D．

例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC 中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于

E，PF⊥AC 于F，连接 EF，则 EF 的最小值为______cm．

【答案】 .

【解析】

解：∵AB=6，AC=8，BC=10，

∴AB2+AC2=BC2，

∴△ABC 为直角三角形，∠A=90°，

∵PE⊥AB 于E，PF⊥AC 于F，

∴∠AEP=∠AFP=90°，

∴四边形 AEPF 为矩形，

连接 AP，如图，EF=AP，

当AP⊥BC 时，AP 的值最小，此时 AP=，

∴EF 的最小值为．

例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E是AB 边的中点，F是线段 BC 上的动

点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则 B′D的最小值是（　　）

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