专题2.15 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题 2.15 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图（知识讲解）
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n°的圆心角所对的弧长 和扇形面积
　的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用
公式解决问题；
3. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
　　半径为 R的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)
要点诠释：
　 　 (1) 对于弧长公式，关键是要理解 1° 的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
　　(2)公式中的ｎ表示 1°圆心角的倍数，故ｎ和 180 都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个
量就可以求出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为 R的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
1
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道
其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
有 点 类 似 ， 可 类 比 记 忆 ； 　 　 (4) 扇 形 两 个 面 积 公 式 之 间 的 联 系 ：
.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为 ，底面半径为 r，侧面展开图中的扇形圆心角为 n°，则
　　圆锥的侧面积 ，
圆锥的全面积 .
要点诠释：
　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧
面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1．如图（1），AB 切⊙O于点 B，OA=
2 3
，AB=3，弦 BC∥OA，则劣弧 的弧
长为（ ）．
A．
3
3
B．
3
2
C．
D．
3
2
CB
A
O
2
图（1）
【答案】A.
【解析】连结 OB、OC，如图（2）
则
0OBA ＝9
，OB=
，
0A ＝3
，
0AOB ＝6
，
由弦 BC∥OA 得
60OBC AOB  ＝
，
所以△OBC 为等边三角形，
0BOC ＝6
.
则劣弧 的弧长为
60 3 3
=
180 3
ππ
，故选 A. 图（2）
【总结升华】主要考查弧长公式： .
举一反三：
【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，Ä试计算如图所示
的管道的展直长度，即 的长(结果精确到 0.1mm)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】R=40mm，n=110
　　　　∴ 的长= = ≈76.8(mm)
　　　　因此，管道的展直长度约为 76.8mm．
3
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