专题1.9 一元二次方程根的判别式及根与系数关系（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题 1.9 一元二次方程根的判别式及根与系数关系（知识讲

解）

【学习目标】

1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系

数的取值范围；

2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程

)0(0

2 acbxax

中，

acb 4

2

叫做一元二次方程

)0(0

2 acbxax

的根的判别式，通常用“



”来表示，即

acb 4

2

（1）当△>0 时，一元二次方程有 2个不相等的实数根；

（2）当△=0 时，一元二次方程有 2个相等的实数根；

（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；

②确定

cba .,

的值；③计算

acb 4

2

的值；④根据

acb 4

2

的符号判定方程根的情况.

2. 一元二次方程根的判别式的逆用

在方程

 

2 acbxax

中，

（1）方程有两个不相等的实数根



acb 4

2

﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根



acb 4

2

=0；

（3）方程没有实数根



acb 4

2

﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为

0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则

acb 4

2

≥0.

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程

)0(0

2 acbxax

的两个实数根是

21 xx ，

，

那么

xx  21

，

xx 

注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数

除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个

根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及

代数式的一些重要变形；如：

①

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 2x x x x x x   

；

②

1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x



  

；

③

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( )x x x x x x x x  

；

④

2 2

2 1 1 2

1 2 1 2

x x x x



 

1 2 1 2

1 2

( ) 2x x x x

x x

 



；

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