专题1.4勾股定理精讲精练-八年级数学上学期期中考试高分直通车（原卷版）【苏科版】

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2020-2021 学年八年级数学上学期期中考试高分直通车（苏科版）

专题 1.4 勾股定理精讲精练

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【知识梳理】

1.勾股定理：

（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条

直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有这就是勾股定理．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）由于，所以 c＞a，同理 c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的

逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证

明采用了构造法.

两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,

那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫

做另一个的逆定理.

3.勾股定理的证明：

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用

面积相等证明勾股定理．

（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个

小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

勾股数：

4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．

说明：

① 个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5 满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股

数．

② 组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③ 住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

5.勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中

抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形

的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三

角形的斜边．

【典例剖析】

【考点 1】勾股定理

【例 1】（2019 秋•建湖县期中）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACB，交 AB 于E，CF 平分

∠ACD，且 EF∥BC 交AC、CF 于M、F，若 EM＝3，则 CE2+CF2的值为（　　）

A．36 B．9 C．6 D．18

【变式 1.1】（2019 秋•金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为 a，b，且满足 a26﹣a+9+|b4|﹣＝

0，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　）

A．25 B．7 C．25 或7 D．25 或16

【变式 1.3】（2018 秋•金坛区期中）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，周长为 24，斜边与一直角边之比为 5：

4，则这个直角三角形的面积是（　　）

A．20 B．24 C．28 D．30

【考点 2】勾股定理的证明

【例 2】（2020 春•沛县期中）两个边长分别为 a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是 c的直角三角

形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）

A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2﹣b2＝c2D．a2+b2＝c2

【变式 2.1】（2019 秋•滨海县期中）两个边长分别为 a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是 c的直

角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）

A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2

【变式 2.2】（2019 秋•吴中区期中）2002 年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的

中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是

25，直角三角形较长的直角边长是 a，较短的直角边长是 b，且（a+b）2的值为 49，那么小正方形的面

积是（　　）

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