专题1.2 勾股定理章末重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

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专题 1.2 勾股定理章末重难点题型
【人教版】
【考点 1 赵爽弦图求值】
【方法点拨】解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可
解决问题.
【例 1】（2020 春•大悟县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄
傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若 ab＝8，小正方形的面积为 9，则大正方形的边长为（
）
A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出
大正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：
1
2
ab
¿1
2
×
8＝4，
∴大正方形的面积为：4
×1
2
ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为 5．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础
题型．
【变式 1-1】（2020 春•湛江期末）如图，由 4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，
若大正方形面积是 9，小正方形面积是 1，直角三角形较长直角边为 a，较短直角边为 b，则 ab 的值是
（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，通过完全平方公式的变形公式来求 ab 即可．
【解答】解：由题意得：大正方形的面积是 9，小正方形的面积是 1，直角三角形的较长直角边为 a，较
短直角边为 b，
即a2+b2＝9，a﹣b＝1，
所以 ab
¿1
2
[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]
¿1
2
（9 1﹣）＝4，即 ab＝4．
解法 2，4个三角形的面积和为 9 1﹣＝8；
每个三角形的面积为 2；
则
1
2
ab＝2；
所以 ab＝4
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程
2
组并求解是解题的关键．
【变式 1-2】（2019 春•番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全
等的直角三角形，四边形 ABCD 和EFGH 都是正方形，如果 AB＝10，EF＝2，那么 AH 等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据面积的差得出 a+b的值，再利用 a﹣b＝2，解得 a，b的值代入即可．
【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4，
∴四个直角三角形面积和为 100 4﹣＝96，设 AE 为a，DE 为b，即 4
ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8 2﹣＝6．
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得 ab 的值．
【变式 1-3】（2020 春•和县期末）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个
大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短的直角边长为 a，较长
的直角边长为 b，那么 a+b的值为　 　．
【分析】根据勾股定理可以求得 a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到
ab 的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得 a+b的值．
3
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