专题1.2 勾股定理【知识梳理+真题演练】-八年级数学下学期期末复习宝典（人教版）（原卷版）

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专题 1.2 勾股定理

知识归纳

知识点 1：勾股定理

1. 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么

2. 勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

3. 勾股定理公式 a2+b2=c2 的变形有 , ,

4. 证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图

形的面积和化简整理得到勾股定理．

1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C、D都在格点上．

（1）线段 AB 的长是　　；

（2）在图中画出一条线段 EF，使 EF 的长为

√

，并判断 AB、CD、EF 三条线段的长能否成为一个直

角三角形三边的长？说明理由．

2．（2020•海淀区校级期末）利用勾股定理可以在数轴上画出表示

√

的点，请依据以下思路完成画图，

并保留画图痕迹：

第一步：（计算）尝试满足

√

20=

√

a2+b2

，使其中 a，b都为正整数，你取的正整数 a＝　　，b＝

；

第二步：（画长为

√

的线段）以第一步中你所取的正整数 a，b为两条直角边长画 Rt△OEF，使 O为

原点，点 E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边 OF 的长即为

√

．

请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）

第三步：（画表示

√

的点）在下面的数轴上画出表示

√

的点 M，并描述第三步的画图步骤：　　．

3．（2019•北仑区期末）利用如图 4×4 方格，每个小正方形的边长都为 1．

（1）请求出图 1中阴影正方形的面积与边长；

（2）请在图 2中画出一个与图 1中阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它

的边长；

（3）把分别表示图 1与图 2中的正方形的边长的实数在数轴上表示出来．

4．（2020 春•镜湖区期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个顶点叫做格点．

（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形；

（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2，

√

，

√

；这个三角形的面

积为　　．

5．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a和b，斜边长为 c，请你开

动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；

（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明

勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）

6．（2020•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验

证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都

为a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为 4

×1

ab+

（a﹣b）2，所以 4

×1

ab+（a﹣b）2＝c2，即 a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形

两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，

请你利用图②推导勾股定理．

（2）试用勾股定理解决以下问题：

如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3和4，则斜边上的高为　　．

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a2﹣b）2＝a24﹣ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字

母a，b所表示的线段．

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