专题01 三角形的证明——等腰三角形（解析版）

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专题 01 三角形的证明——等腰三角形

考点一等腰三角形的性质

【方法点拨】

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

【典例剖析】

1．（2019 秋•江汉区校级期末）如图，已知 AB＝AC＝BD，那么（　　）

A．∠1＝∠2 B．2 1+ 2∠ ∠ ＝180°

C．∠1+3 2∠＝180° D．3 1 2∠ ∠﹣＝180°

【点拨】根据等边对等角得出∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，根据三角形外角的性质和三角形内角和得出

∠C+2 1∠＝180°，然后根据∠C＝∠1 2﹣∠ ，即可求得 3 1 2∠ ∠﹣＝180°．

【解析】解：∵AB＝AC＝BD，

∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，

∵∠1＝∠C+ 2∠，

∴∠BAD＝∠1＝∠C+ 2∠，

∵∠B+ 1+∠ ∠BAD＝180°，

∴∠C+2 1∠＝180°，

∵∠C＝∠1 2﹣∠ ，

∴∠1 2+2 1﹣∠ ∠ ＝180°，

即3 1 2∠ ∠﹣＝180°．

故选：D．

2．（2019 秋•奈曼旗期末）如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH 的两边上，且 AB＝BC＝CD＝DE＝

EF，若∠A＝18°，则∠GEF 的度数是（　　）

A．108° B．100° C．90° D．80°

【点拨】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠GEF

的度数．

【解析】解：∵∠A＝18°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠ACB＝18°，

根据三角形外角和外角性质得出∠BCD＝108°，

∴∠CBD＝∠CDB＝×（180° 108°﹣）＝36°，

∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180° 108° 18°﹣ ﹣ ＝54°，

∴∠ECD＝∠CED＝54°

∴∠CDE＝180° 54°×2﹣＝72°，

∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝72°，

∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝36°，

∴∠GEF＝180°﹣（∠CED+∠DEF）＝90°，

即∠GEF＝90°．

故选：C．

3．（2019 秋•潮阳区期末）如图，△ABC 中，AB＝AC，D是BC 中点，下列结论中不正确的是（　　）

A．AB＝2BD B．AD⊥BC C．AD 平分∠BAC D．∠B＝∠C

【点拨】根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．

【解析】解：∵△ABC 中，AB＝AC，D是BC 中点，

∴AD⊥BC（故 B正确）

AD 平分∠BAC（故 C正确）

∠B＝∠C（故 D正确）

无法得到 AB＝2BD，（故 A不正确）．

故选：A．

4．（2019 秋•满城区期末）等腰三角形的一个内角是 50°，则它的底角是　 50° 或

65° 　．

【点拨】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是 50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分

两种情况讨论．

【解析】解：当 50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；

当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°．

故答案是：50°或65°．

5．（2019 秋•昌平区期末）等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 6cm，则底边长为　 6

或

8 　 cm．

【点拨】分 6cm 是底边与腰长两种情况讨论求解．

【解析】解：①6cm 是底边时，腰长＝（20 6﹣）＝7cm，

此时三角形的三边分别为 7cm、7cm、6cm，

能组成三角形，

②6cm 是腰长时，底边＝20 6×2﹣＝8cm，

此时三角形的三边分别为 6cm、6cm、8cm，

能组成三角形，

综上所述，底边长为 6或8cm．

故答案为：6或8．

6．（2019 秋•蒙阴县期末）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征

值”，记作 k．若 k＝2，则该等腰三角形的顶角为　 36 　度．

【点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

【解析】解：∵k＝2，

∴设顶角＝α，则底角＝2α，

∴α+2α+2α＝180°，

∴α＝36°，

∴该等腰三角形的顶角为 36°，

故答案为：36．

7．（2019 秋•大安市期末）如图，在△ABC 中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度

数．

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