专题01 勾股定理的基本应用（解析版）

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专题一 勾股定理的基本应用
考点一 求线段的长
【方法点拨】①勾股定理常用来求直角边或斜边；②勾股定理是求线段长度的最主要方法，若缺少直角条
件，可以通过作垂线的方法构造直角三角形；③若不能直接用勾股定理求出直角三角形的边，一般设未
知数，建立方程求解。
1．等腰三角形的底边长为 12，底边上的中线长为 8，它的腰长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．3
√
2
【思路点拨】根据题意画出图形，如图所示：
AB
＝
AC
，
AD
为
BC
边的中线，
AD
＝8，
BC
＝12，利用三线合
一得到
AD
垂直与
BC
，在直角三角形
ABD
中，由
AD
与
BD
的长，利用勾股定理求出
AB
的长，即为腰长．
【解析】解：如图所示：
AB
＝
AC
，
AD
为
BC
边的中线，
AD
＝8，
BC
＝12，
∴
BD
＝
CD
＝6，
AD
⊥
BC
，
在 Rt△
ABD
中，
BD
＝6，
AD
＝8，
根据勾股定理得：
AB
¿
√
B D2+A D2=¿
10，
则等腰三角形的腰长为 10．
故选：
C
．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2．如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得△
ABC
，则
AC
边上的高是（　　）
A．
3
2
√
2
B．
3
10
√
5
C．
3
5
√
5
D．
4
5
√
5
【思路点拨】以
AC
、
AB
、
BC
为斜边的三个直角三角形的面积分别为 1、1、
1
2
，因此△
ABC
的面积为
；
1
用勾股定理计算
AC
的长为
√
5
，因此
AC
边上的高为
3
5
√
5
．
【解析】解：∵三角形的面积等于小正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即
S
△
ABC
＝4
−1
2
×
1×2
−1
2
×
1×1
−1
2
×1×2=3
2
，
∵
AC=
√
12+22=
√
5
，
∴
AC
边上的高
¿3
√
5=3
5
√
5
，
故选：
C
．
【点睛】此题首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得
AC
的长，
最后根据三角形的面积公式计算．
3．Rt△
ABC
中，斜边
BC
＝2
√
2
，则
AB
2+
AC
2+
BC
2的值为（　　）
A．16 B．8 C．8 D．无法计算
【思路点拨】根据勾股定理计算即可．
【解析】解：由勾股定理得，
AB
2+
AC
2＝
BC
2＝8，
∴
AB
2+
AC
2+
BC
2＝16，
故选：
A
．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2+
b
2＝
c
2．
4．如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小
正方形面积为 4，若用
x
、
y
表示直角三角形的两直角边（
x
＞
y
），下列四个说法：①
x
2+
y
2＝49，②
x
﹣
y
＝2，③ 2
xy
+4＝49，④
x
+
y
＝9．其中说法正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】由题意
¿
，①﹣②可得 2
xy
＝45 记为③，①+③ 得到（
x
+
y
）2＝94 由此即可判断．
【解析】解：由题意
¿
，
①﹣②得 2
xy
＝45 ③，
2
∴2
xy
+4＝49，
①+③ 得
x
2+2
xy
+
y
2＝94，
∴（
x
+
y
）2＝94，
∴①②③正确，④错误．
故选：
B
．
【点睛】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会
整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
5．如图，等边△
ABC
的边长为 2，
AD
是
BC
边上的高，则高
AD
的长为（　　）
A．.1 B．.
√
2
C．
√
3
D．.2
【思路点拨】根据等边三角形的性质求出
CD
，再根据勾股定理求出
AD
即可．
【解析】解：∵等边△
ABC
的边长为 2，
AD
是
BC
边上的高，
∴∠
ADC
＝90°，
BD
＝
CD
¿1
2
BC
＝1，
由勾股定理得：
AD
¿
√
A C2−C D2=
√
22−12=
√
3
，
故选：
C
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出
CD
的长是解此题的
关键．
6．若直角三角形两条直角边的边长分别为 6 和 8，则斜边上的高是（　　）
A．5 B．10 C．
12
5
D．
24
5
【思路点拨】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．
【解析】解：∵直角三角形的两直角边长为 6 和 8，
斜边长为：
√
62+82=¿
10，
三角形的面积
¿1
2
×
6×8＝24，
3
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