浙教版数学九年级上册 第4章 相似三角形 知识点汇总 及例题讲解

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一、比例的性质
1． ，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式；
2．(反比定理)；
3．(或)(更比定理)；
4．(合比定理)；
5．(分比定理)；
6．(合分比定理)；
7．(等比定理).
二、 黄金分割
如图，若线段 上一点 把线段 分成两条线段 和 （ ），且使 是 和 的比例中项
（即 ）则称线段 被点 黄金分割，点 叫线段 的黄金分割点，其中
， ， 与 的比叫做黄金比．
相似三角形
知识精讲
知识网络图
B
A
C
三、平行线分线段成比例定理
1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行
于三角形的第三边．
4．三角形一边的平行线性质
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图， ，则 ．若将 称为上， 称为下， 称
为全，上述比例式可以形象地表示为 ．
A
B
C
E
F
F
E
C
B
A
当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“ ”字型，“ ”字型．则有 ．
A
B
C
E
F
F
E
C
B
A
四、相似三角形的定义
1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．
如图， 与 相似，记作 ，符号 读作“相似于”．
A
'
B
'
C
'
C
B
A
2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；
全等三角形的相似比是 1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
2
五、相似三角形的判定：
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。
3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。
【注意】1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么
这两个直角三角形相似．
2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
3．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们
的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
六、相似三角形的性质：
1．相似三角形的对应角相等
如图， 与 相似，则有 ．
2．相似三角形的对应边成比例
如图， 与 相似，则有 （ 为相似比）．
A
'
B
'
C
'
C
B
A
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图， 与 相似， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则有
（ 为相似比）．
M
'
M
A
'
B
'
C
'
C
B
A
如图， 与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有
3
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