相似三角形的性质-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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22.3 相似三角形的性质

知识点一　相似三角形的性质定理 1

性质定理 1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

知识点二　相似三角形的性质定理 2

性质定理 2：相似三角形周长的比等于相似比

该定理是由相似三角形的对应边成比例，结合等比性质推理得到：

若△ABC∽△A′B′C′，且＝＝＝k，则＝＝＝k.

知识点三　相似三角形的性质定理 3

性质定理 3：相似三角形面积的比等于相似比的平方

知识点四　相似三角形性质定理的应用

相似三角形的知识，在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不

易直接测量的物体的高度或宽度．

帮—重点相似三角形的性质定理 1、2、3

帮—难点相似三角形的性质定理应用

帮—易错相似情形考虑不全面，相似三角形面积比与相似比的关系

知识点一　相似三角形的性质定理 1

例1　如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，有一内接正方形 DEFC，连接 AF 交DE 于点 G，AC＝

15，BC＝10.求GE 的长．

解析：欲求 GE 的长，可先求 DE 与DG 的长，由△ADE∽△ACB 与△ADG∽△ACF 可求．

解： ∵在Rt△ABC 中， ∠C＝90° ，四边形 DEFC 为其内接正方形，

∴DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝.

设正方形的边长为 x，则＝，∴x＝6.

∵DG∥CF，∴△ADG∽△ACF，∴＝，即＝，

∴DG＝，∴GE＝6－＝.

注意：从解答本题的过程中可以看出，利用比例式求线段的长度是一种重要方法，主要是根据相似关

系列出比例式，由比例式列出方程，通过解方程求得线段的长．

知识点二　相似三角形周长的比等于相似比

例2　已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′＝2∶5，BC 边上的高 AD＝10cm，△A′B′C′的周长为 100cm.

求：(1)△A′B′C′的边 B′C′上的高 A′D′的长；

(2)△ABC 的周长．

解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝.

∵AD＝10cm，∴A′D′＝＝25(cm)．

(2)∵△ABC∽△A′B′C′，∵＝＝.

∵△A′B′C′的周长为 100cm，

∴△ABC 的周长为＝40(cm)．

注意：相似三角形的性质是利用相似三角形求线段的长、三角形的周长等的依据，在表述其性质时，

切不可漏掉关键词“相似”和“对应”．

知识点三　相似三角形面积的比等于相似比的平方

在使用这一性质时要注意，防止出现“面积的比等于相似比”的错误．在由相似比求面积比时，面积

的比＝相似比的平方；反之，在由面积的比求相似比时，相似比＝.

例3　如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是

△ABC 面积的一半，若 AB＝，则此三角形移动的距离 AA′是多少？

解析：由题意可以推出△ABC 与△A′BO 相似．结合它们的面积比，即可推出对应的比．从而求出 AA′

的长．

解：由题意知∠A＝∠B′A′C′，∠A′BO＝∠ABC，

∴△A′BO∽△ABC.

又S△A′BO∶S△ABC＝1∶2，

∴A′B∶AB＝1∶，又∵AB＝，

∴A′B＝1，∴AA′＝－1.

知识点四　相似三角形性质定理的应用

相似三角形的知识，在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不

易直接测量的物体的高度或宽度．

例4　如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC＝60cm，高 AD＝40cm，四边形 PQRS 是正方形．

(1)△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？

(2)求正方形 PQRS 的边长．

解：(1)△ASR∽△ABC.理由如下：

∵四边形 PQRS 是正方形，

∴SR∥BC，

∴∠ASR＝∠ABC，∠ARS＝∠ACB，

∴△ASR∽△ABC.

(2)由(1)可知△ASR∽△ABC.

根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得＝.设正方形 PQRS 的边长为 xcm，则 AE＝(40－x)cm，

∴＝.解得 x＝24.

∴正方形 PQRS 的边长为 24cm.

易错点一　相似情形考虑不全面，解答不完整

例5　如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，P是CD 边的中点，点 Q在线段 BC 上，当△ADP 与

△QCP 相似时，求 BQ 的长．

解析：本题中 ∠D＝∠C＝90° ，所以两个直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即

△ADP∽△PCQ 或△ADP∽△QCP.

解：由题意得∠D＝∠C＝90°.

(1)当△ADP∽△PCQ 时，＝，即＝，得 CQ＝，故 BQ＝1－＝.

(2)当△ADP∽△QCP 时，＝，即＝，得 QC＝1，故 BQ＝0.

所以，当△ADP 与△QCP 相似时，BQ 的长为或 0.

注意：利用相似三角形对应边成比例的性质求线段的长时关键要找准对应顶点．在某些题中未说明对

应关系，解题时应根据点的对应情况进行分类讨论．

易错点二　混淆相似三角形面积比与相似比的关系

例6　两个相似三角形的相似比为 3∶2，面积之差为 25cm2，求这两个三角形的面积．

解：设这两个相似三角形的面积分别为 xcm2和(x＋25)cm2.

由题意得＝()2，即＝，

∴x＝20，x＋25＝45.

答：这两个三角形的面积分别为 20cm2和45cm2.

注意：相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不等于相似比．

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