相似三角形的判定-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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22.2 相似三角形的判定
知识点一　相似三角形及相关概念
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
相似符号为“∽”．
如△ABC∽△A′B′C′，如图所示．
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝.
相似三角形的相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似三角形的相似比或相似系数，通常用字母
k表示．
知识点二　用平行线判定两三角形相似
定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
符合上述特征的图形有三种，如图所示，若 DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
知识点三　两角分别相等的两个三角形相似
判定定理 1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
似(可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似)．
知识点四　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这
两个三角形相似(可简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
知识点五　三边成比例的两个三角形相似
判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似
(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似)．
知识点六　斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
判定两个直角三角形相似，除了上面所讲的定理外，还有下面的方法：如果一个直角三角形的斜
边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
1
帮—重点 相似三角形几种判定方法
帮—难点 选适当的方法判定三角形相似
帮—易错 一题多解
一　相似三角形及相关概念
全等三角形和相似三角形的关系：全等三角形是相似比为 1的相似三角形，是相似三角形的特例．
例1　已知△ABC∽△DEF，∠A＝30°，∠B＝70°，∴AB＝3cm，DE＝6cm，EF＝9cm，求∠F的度
数和 BC 的长．
解析：由△ABC∽△DEF 可得相似三角形的对应顶点：A对应 D，B对应 E，C对应 F，可得∠C＝
∠F，BC 与EF 是对应边．
解：由△ABC∽△DEF，得∠F＝∠C＝180°－∠A－∠B＝80°，＝，即＝，∴BC＝4.5cm.
例2　如图所示，△ABC∽△ADE，D为AB 的中点，求相似比．
解：△ABC 与△ADE 的相似比 k＝＝＝2.
注意：(1) 书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致；(2) 相似比是有顺序的，如
△ABC∽△A1B1C1，相似比为 k，则△A1B1C1∽△ABC 的相似比为.
二　用平行线判定两三角形相似
例3　如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 相交于点 O，E为OD 的中点，连接 AE 并延长
交DC 于点 F，则 DF∶FC 的值是(　　　)
A．1∶4　　B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
解析：在平行四边形 ABCD 中，∵AB∥DC，∴AB∥DF，
∴△DFE∽△BAE，∴＝.
∵O为对角线的交点，∴DO＝BO.
又∵E为OD 的中点，∴DE＝DB.
则DE∶EB＝1∶3，∴DF∶BA＝1∶3.
∵DC＝AB，∴DF∶DC＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2.
答案：D
三　两角分别相等的两个三角形相似
2
例4　如图所示，在边长为 9的正三角形 ABC 中，BD＝3，∠ADE＝60°，则 AE 的长为________．
解析：本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．∵ ∠ B＝60° ，∠ADE ＝
60°，∴∠BAD＋∠BDA＝180°－∠B＝120°，∠CDE＋∠BDA＝180°－∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠CDE.
又∵∠B＝∠C，∴△BDA∽△CED，
∴＝.∵AB＝9，BD＝3，CD＝BC－BD＝6，∴EC＝2，∴AE＝AC－EC＝7.
答案：7
例5　在△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝45°，∠B＝26°，∠B′＝109°，试判定它们是否相似．
解：∵∠A＝45°，∠B＝26°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝109°.∴∠C＝∠B′.
又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.
注意：对于本题，易受思维定式的影响，认为∠A＝∠A′，但∠B≠∠B′，∠C≠∠C′，得到错误结论：
△ABC 与△A′B′C′不相似．
四　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用“判定定理 2”进行判定时，一定注意是“夹角”，并非任意角．
例6　如图所示，在边长为 a的正方形 ABCD 中，M是边 AD 的中点，能否在边 AB 上找到一点 N(不
含点 A，B)，使得△CDM∽△MAN？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
解析：根据正方形的特征可知∠A，∠D都是直角，又因为点 M是AD 的中点，则＝2，要使得
△CDM∽△MAN，需＝2，所以点 N应满足的条件是 AN＝DM＝×a＝a，也可以通过几何作图求解．
解：当 AN＝a时，△CDM∽△MAN.
证明如下：∵点M是AD 的中点，且正方形 ABCD 的边长为 a，
∴∠CDM＝∠MAN＝90°，AM＝DM＝a.
又∵AN＝a，∴＝2，＝2，∴＝.
又∵∠A＝∠D＝90°，∴△CDM∽△MAN.
注意：本题是关于判定三角形相似的探究型问题，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相
似”的判定方法解决问题．
五　三边成比例的两个三角形相似
例7　要做甲、乙两个形状相同(即相似)的三角形框架，甲框架已做成，它的三边长分别是
50cm,60cm,80cm，若乙框架的一边长必须为 20cm，那么符合条件的乙框架共有(　　　)
A．1种　　　　 B．2种
C．3种D．4种
3
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